Encontre as derivadas das funções vetoriais a seguir
F(t)=e^t cos t i-e^t sin t k

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t)=e^tcos t,i-e^tsin t,k
O conteúdo da matéria é derivação de funções vetoriais e vamos usar derivação componente a componente, aplicando a regra do produto sempre que necessário.

Passo 2

A componente em i é f1(t)=e^tcos t. Aplicando a regra do produto,
f1'(t) =ddt(e^t)cos t+e^tddt(cos t) =e^tcos t-e^tsin t =e^t(cos t-sin t)

Passo 3

Não há componente em j, ou seja, f2(t)=0 e portanto
f2'(t)=0

Passo 4

A componente em k é f3(t)=-e^tsin t. Usando a regra do produto dentro do parêntese e lembrando o sinal negativo,
f3'(t) =-l(ddt(e^t)sin t+e^tddt(sin t)r) =-l(e^tsin t+e^tcos tr) =-e^t(sin t+cos t)

Passo 5

Juntando as derivadas das três componentes, obtemos
F'(t) =e^t(cos t-sin t),i +0,j -e^t(sin t+cos t),k

Resposta

boxedF'(t)=e^t(cos t-sin t),i-e^t(sin t+cos t),k

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