S-3.51 (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que todos os cavalos. Quantos cavalos e quantos bois foram comprados?

Passo 1

Resumo do enunciado: uma pessoa comprou x cavalos a 31 escudos cada e y bois a 20 escudos cada, e sabe-se que o total gasto com bois foi 7 escudos a mais que o total gasto com cavalos. Isso leva à equação diofantina
20,y - 31,x = 7
Vamos resolver essa equação por redução módulo e depois impor a positividade de x e y.

Passo 2

Definimos
x = número de cavalos, y = número de bois úú
O gasto total em cavalos é 31x e em bois é 20y, e a condição é
20,y = 31,x +7 Long<=ftrightarrow 20,y - 31,x = 7

Passo 3

Reduzimos a equação módulo 31 para encontrar y:
20,y equiv 7 pmod31
Precisamos do inverso de 20 em Z/31. Como
20cdot14 = 280 equiv 1 pmod31,
temos 20^-1equiv14.

Passo 4

Multiplicando a congruência por 14,
y equiv 14cdot7 = 98 equiv 5 pmod31,
então y = 5 + 31k, kinZ. Substituindo na equação original,
x = 20y - 731 = 20(5+31k)-731 = 3 + 20k
Portanto a solução geral é
x = 3 + 20k, y = 5 + 31k, kinZ

Passo 5

Como x e y devem ser positivos, basta escolher k>=0. O par mínimo ocorre em k=0, dando
x = 3, y = 5
As soluções maiores são (x,y)=(23,36),(43,67),dots, mas o menor caso (e em geral o mais natural) é 3 cavalos e 5 bois.

Resposta

Foram comprados 3 cavalos e 5 bois.

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