S-3.51 (Proposto por Euler) Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que todos os cavalos. Quantos cavalos e quantos bois foram comprados?
Passo 1
Resumo do enunciado: uma pessoa comprou
cavalos a
escudos cada e
bois a
escudos cada, e sabe-se que o total gasto com bois foi
escudos a mais que o total gasto com cavalos. Isso leva à equação diofantina
Vamos resolver essa equação por redução módulo e depois impor a positividade de
e
.
Passo 2
Definimos
O gasto total em cavalos é
e em bois é
, e a condição é
Passo 3
Reduzimos a equação módulo 31 para encontrar
:
Precisamos do inverso de
em
. Como
temos
.
Passo 4
Multiplicando a congruência por
,
então
,
. Substituindo na equação original,
Portanto a solução geral é
Passo 5
Como
e
devem ser positivos, basta escolher
. O par mínimo ocorre em
, dando
As soluções maiores são
, mas o menor caso (e em geral o mais natural) é
cavalos e
bois.
Resposta
Foram comprados
cavalos e
bois.