Encontre a derivada da função indicada. Justifique suas respostas, indicando alguns passos do cálculo e/ou regras utilizadas. Simplifique suas respostas sempre que possível.
y=(2 x^3+x)^12

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função y = (2x^3 + x)^12 . Isso envolve o cálculo de derivadas, que é uma parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia, que é super útil quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro de outra.

Passo 2

Primeiro, identifique a função externa e a função interna. No nosso caso:
  • A função externa é u^12 , onde u = 2x^3 + x
  • A função interna é u = 2x^3 + x

Passo 3

Agora, aplique a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de y = f(u) em relação a x é dy/dx = f'(u) cdot u' . Vamos calcular cada parte:
  • Derivada da função externa em relação a u : f'(u) = 12u^11
  • Derivada da função interna em relação a x : u' = ddx(2x^3 + x) = 6x^2 + 1

Passo 4

Agora, multiplique essas derivadas conforme a regra da cadeia:
dydx = 12u^11 cdot (6x^2 + 1)
Substitua u de volta pela expressão original:
dydx = 12(2x^3 + x)^11 cdot (6x^2 + 1)

Resposta

A derivada da função é:
dydx = 12(2x^3 + x)^11 cdot (6x^2 + 1)

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