Nos itens a seguir, encontre a derivada segunda y^prime prime :
y=x-1x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A parada é a seguinte: temos a função y = x - 1x + 1 e precisamos encontrar a segunda derivada, que é y'' . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada y' . Para isso, usamos a regra do quociente, que diz que se y = uv , então:
y' = u'v - uv'v^2
Aqui, u = x - 1 e v = x + 1 . Vamos derivar u e v :
u' = ddx(x - 1) = 1
v' = ddx(x + 1) = 1
Agora, aplicando a regra do quociente:
y' = (1)(x + 1) - (x - 1)(1)(x + 1)^2 = x + 1 - x + 1(x + 1)^2 = 2(x + 1)^2

Passo 3

Agora que temos y' = 2(x + 1)^2 , vamos encontrar a segunda derivada y'' . Para isso, precisamos derivar y' novamente. Podemos reescrever y' como:
y' = 2(x + 1)^-2
Usaremos a regra do poder, que diz que ddx[x^n] = nx^n-1 .
Derivando y' :
y'' = 2 cdot (-2)(x + 1)^-3 cdot ddx(x + 1) = -4(x + 1)^-3 cdot 1 = -4(x + 1)^3

Resposta

A segunda derivada é:
y'' = -4(x + 1)^3

Exercícios relacionados