Nos itens a seguir, encontre a derivada segunda
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a segunda derivada, que é
, da função
. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, como a regra do produto e a regra da cadeia. Essas ferramentas vão nos ajudar a derivar cada termo da função de forma correta.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada,
. A função é composta por duas partes:
e
. Vamos derivar cada uma separadamente.
Passo 3
Começando com
. Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
-
então -
então (usando a regra da cadeia)
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Agora, vamos derivar
. Aqui usamos a regra da cadeia. Seja
, então
.
A derivada de
é
.
-
então
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, juntamos as derivadas das duas partes para obter
:
Passo 6
Vamos agora encontrar a segunda derivada,
, derivando
:
Derivamos cada termo:
-
(regra da cadeia) -
: usamos a regra do produto -
, -
,
Então: -
-
: também usamos a regra do produto -
, -
,
Então: -
Passo 7
Juntando tudo, a segunda derivada
é:
Podemos simplificar:
Resposta
A segunda derivada é: