Nos itens a seguir, encontre a derivada segunda y^prime prime :
y=x sen(3 x)-cos ^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a segunda derivada, que é y'' , da função y = x , sin(3x) - cos^2(x) . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas, como a regra do produto e a regra da cadeia. Essas ferramentas vão nos ajudar a derivar cada termo da função de forma correta.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada, y' . A função é composta por duas partes: x , sin(3x) e -cos^2(x) . Vamos derivar cada uma separadamente.

Passo 3

Começando com x , sin(3x) . Aqui usamos a regra do produto, que diz que a derivada de u cdot v é u' cdot v + u cdot v' .
  • u = x então u' = 1
  • v = sin(3x) então v' = 3 cos(3x) (usando a regra da cadeia)
Aplicando a regra do produto:
ddx( x , sin(3x) ) = 1 cdot sin(3x) + x cdot 3 cos(3x) = sin(3x) + 3x cos(3x)

Passo 4

Agora, vamos derivar -cos^2(x) . Aqui usamos a regra da cadeia. Seja f(x) = cos(x) , então f^2(x) = [cos(x)]^2 .
A derivada de f^2(x) é 2 f(x) f'(x) .
  • f(x) = cos(x) então f'(x) = -sin(x)
Aplicando a regra da cadeia:
ddx( -cos^2(x) ) = -2 cos(x) cdot (-sin(x)) = 2 cos(x) sin(x)

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas das duas partes para obter y' :
y' = sin(3x) + 3x cos(3x) + 2 cos(x) sin(x)

Passo 6

Vamos agora encontrar a segunda derivada, y'' , derivando y' :
y' = sin(3x) + 3x cos(3x) + 2 cos(x) sin(x)
Derivamos cada termo:
  1. ddx sin(3x) = 3 cos(3x) (regra da cadeia)
  2. ddx 3x cos(3x) : usamos a regra do produto
    • u = 3x , u' = 3
    • v = cos(3x) , v' = -3 sin(3x)
    Então:
ddx 3x cos(3x) = 3 cdot cos(3x) + 3x cdot (-3 sin(3x)) = 3 cos(3x) - 9x sin(3x)
  1. ddx 2 cos(x) sin(x) : também usamos a regra do produto
    • u = 2 cos(x) , u' = -2 sin(x)
    • v = sin(x) , v' = cos(x)
    Então:
ddx 2 cos(x) sin(x) = -2 sin(x) cdot sin(x) + 2 cos(x) cdot cos(x) = -2 sin^2(x) + 2 cos^2(x)

Passo 7

Juntando tudo, a segunda derivada y'' é:
y'' = 3 cos(3x) + 3 cos(3x) - 9x sin(3x) - 2 sin^2(x) + 2 cos^2(x)
Podemos simplificar:
y'' = 6 cos(3x) - 9x sin(3x) + 2 cos^2(x) - 2 sin^2(x)

Resposta

A segunda derivada é:
y'' = 6 cos(3x) - 9x sin(3x) + 2 cos^2(x) - 2 sin^2(x)

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