51 Seja
a
soma parcial da série harmônica. Se
, use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo
tal que
, e aproxime
comduas casas decimais.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre a série harmônica, que é basicamente a soma dos inversos dos números naturais:
. A gente precisa encontrar um número inteiro positivo
tal que a soma parcial
seja maior ou igual a 3. Além disso, temos que aproximar essa soma
com duas casas decimais. Para resolver isso, vamos calcular as somas parciais da série harmônica até alcançar ou ultrapassar o valor 3.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. Na série harmônica, a soma parcial
é a soma dos primeiros
termos da série. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de
que faz com que
.
Passo 3
Vamos começar calculando as somas parciais uma a uma até atingir ou passar de 3:
Passo 4
Observando os cálculos, vemos que:
- Para
, temos , que ainda é menor que 3. - Para
, temos , que já é maior que 3.
Então, o menor inteiro positivo
que satisfaz
é 11.
Resposta
O valor de
é 11, e a soma parcial
é aproximadamente 3,02.