51 Seja Sn a n^ma soma parcial da série harmônica. Se M = 3, use o Exemplo 3 para achar um inteiro positivo m tal que Sm ≥ M, e aproxime Sm comduas casas decimais.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre a série harmônica, que é basicamente a soma dos inversos dos números naturais: . A gente precisa encontrar um número inteiro positivo tal que a soma parcial seja maior ou igual a 3. Além disso, temos que aproximar essa soma com duas casas decimais. Para resolver isso, vamos calcular as somas parciais da série harmônica até alcançar ou ultrapassar o valor 3.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma parcial. Na série harmônica, a soma parcial é a soma dos primeiros termos da série. Ou seja:
Nosso objetivo é encontrar o menor valor de que faz com que .

Passo 3

Vamos começar calculando as somas parciais uma a uma até atingir ou passar de 3:

Passo 4

Observando os cálculos, vemos que:
  • Para , temos , que ainda é menor que 3.
  • Para , temos , que já é maior que 3.
Então, o menor inteiro positivo que satisfaz é 11.

Resposta

O valor de é 11, e a soma parcial é aproximadamente 3,02.

Exercícios relacionados