57 Administra-se a um indivíduo uma dose de
unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de
minu-
tos é
, com
. Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de
minutos.
(a) Mostre que a quantidade
do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a
dose é dada por
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que
não excede certo nível
.
tos é
(a) Mostre que a quantidade
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a administração de um remédio num indivíduo. A dose administrada é
unidades, e a quantidade que permanece na corrente sanguínea após
minutos é dada por
, onde
. A administração da dose acontece a intervalos de
minutos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © desse exercício, passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Mostrar que a quantidade
após a
dose é
Primeiro, precisamos entender como a quantidade do remédio se acumula no corpo após cada dose. Toda vez que uma dose é administrada, uma parte dela permanece e a outra é eliminada conforme a função exponencial.
Após a primeira dose, a quantidade de remédio é
. Após
minutos, essa quantidade diminui para
, e a segunda dose é adicionada, totalizando
.
De maneira geral, após cada intervalo de
minutos, a quantidade de remédio de doses anteriores diminui exponencialmente, e uma nova dose
é adicionada. Isso cria uma série geométrica onde cada termo representa a contribuição de cada dose anterior.
Portanto, a quantidade total imediatamente após a
dose é a soma das contribuições de todas as doses anteriores, que pode ser representada pela soma:
Passo 3
Parte (b): Encontrar uma cota superior para
após um número arbitrário de doses
Agora, queremos saber um limite máximo para a quantidade de remédio no sangue, independentemente de quantas doses sejam administradas.
Observando a expressão de
:
Essa é uma série geométrica com razão
. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita, quando
, é dada por:
Como estamos somando termos até
, a soma será sempre menor que a soma infinita. Portanto, a cota superior para
é:
Passo 4
Parte ©: Determinar o menor intervalo
que garante que
, onde
Queremos encontrar o menor
tal que a quantidade de remédio nunca ultrapasse
. Usando a cota superior que encontramos:
Vamos resolver essa inequa��ão para
.
Primeiro, isolamos o denominador:
Em seguida, isolamos o termo exponencial:
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por
(lembrando que isso inverte a desigualdade):
Finalmente, isolamos
:
Como queremos o menor
que satisfaça a condição, temos:
Resposta
(a) A quantidade após a
dose é
.
(b) Uma cota superior para
é
.
© O menor intervalo entre doses que garante
é
.