57 Administra-se a um indivíduo uma dose de Q unidades de certo remédio. A quantidade que permanece na corrente sangüínea ao cabo de t minu-
tos é Q e^-c t, com c>0. Suponhamos que a mesma dose seja administrada a intervalos sucessivos de T minutos.
(a) Mostre que a quantidade A(k) do remédio na corrente sangüínea imediatamente após a k^ ma dose é dada por
A(k)=sumn=0^k-1 Q e^-n c T
(b) Ache uma cota superior para a quantidade de remédio na corrente sangüínea após um número arbitrário de doses.
© Ache o menor tempo entre doses que garanta que A(k) não excede certo nível M, M>Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre a administração de um remédio num indivíduo. A dose administrada é Q unidades, e a quantidade que permanece na corrente sanguínea após t minutos é dada por Q e^-c t, onde c > 0. A administração da dose acontece a intervalos de T minutos. Vamos resolver as partes (a), (b) e © desse exercício, passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Mostrar que a quantidade A(k) após a k^ªª dose é A(k) = sumn=0^k-1 Q e^-n c T
Primeiro, precisamos entender como a quantidade do remédio se acumula no corpo após cada dose. Toda vez que uma dose é administrada, uma parte dela permanece e a outra é eliminada conforme a função exponencial.
Após a primeira dose, a quantidade de remédio é Q. Após T minutos, essa quantidade diminui para Q e^-c T, e a segunda dose é adicionada, totalizando Q e^-c T + Q.
De maneira geral, após cada intervalo de T minutos, a quantidade de remédio de doses anteriores diminui exponencialmente, e uma nova dose Q é adicionada. Isso cria uma série geométrica onde cada termo representa a contribuição de cada dose anterior.
Portanto, a quantidade total imediatamente após a k^ªª dose é a soma das contribuições de todas as doses anteriores, que pode ser representada pela soma:
A(k) = sumn=0^k-1 Q e^-n c T

Passo 3

Parte (b): Encontrar uma cota superior para A(k) após um número arbitrário de doses
Agora, queremos saber um limite máximo para a quantidade de remédio no sangue, independentemente de quantas doses sejam administradas.
Observando a expressão de A(k):
A(k) = sumn=0^k-1 Q e^-n c T
Essa é uma série geométrica com razão e^-c T. Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita, quando 0 < e^-c T < 1, é dada por:
sumn=0^infty Q e^-n c T = Q1 - e^-c T
Como estamos somando termos até k-1, a soma será sempre menor que a soma infinita. Portanto, a cota superior para A(k) é:
A(k) <= Q1 - e^-c T

Passo 4

Parte ©: Determinar o menor intervalo T que garante que A(k) <= M, onde M > Q
Queremos encontrar o menor T tal que a quantidade de remédio nunca ultrapasse M. Usando a cota superior que encontramos:
Q1 - e^-c T <= M
Vamos resolver essa inequa��ão para T.
Primeiro, isolamos o denominador:
1 - e^-c T >= QM
Em seguida, isolamos o termo exponencial:
e^-c T <= 1 - QM
Tomando o logaritmo natural dos dois lados:
- c T <= ln(1 - QM)
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembrando que isso inverte a desigualdade):
c T >= - ln(1 - QM)
Finalmente, isolamos T:
T >= - ln(1 - QM)c
Como queremos o menor T que satisfaça a condição, temos:
T = - ln(1 - QM)c

Resposta

(a) A quantidade após a k^ªª dose é A(k) = sumn=0^k-1 Q e^-n c T.
(b) Uma cota superior para A(k) é dfracQ1 - e^-c T.
© O menor intervalo entre doses que garante A(k) <= M é T = dfrac- ln(1 - dfracQM)c.

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