Uma sequência é definida recursivamente pelas equações
e
. Mostre que
é crescente e
para todo valor de
. Deduza que
é convergente
encontre seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado define uma sequência onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é dado por
. O que precisamos mostrar é que essa sequência está sempre aumentando (é crescente), que todo termo é menor que 2, e que ela converge para um certo limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e análise de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
.
Começamos com
. Vamos calcular
:
Como
, o segundo termo já é maior que o primeiro. Agora, suponha que
, e vamos ver se isso implica que
:
Como
, substituindo na expressão de
:
Portanto, por indução, a sequência é crescente.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que todo termo da sequência é menor que 2, ou seja,
para todo
.
Sabemos que
. Assumindo que
, vamos ver
:
Assim, por indução, todos os termos são menores que 2.
Passo 4
Como a sequência é crescente e está limitada superiormente por 2, podemos concluir, pela propriedade das sequências monótonas, que ela converge. Ou seja, existe um limite
tal que
quando
.
Para encontrar o limite, observamos que
e
vão para
:
Resolvendo para
:
Resposta
A sequência
é crescente, está sempre abaixo de 2, e converge para o limite
.