Uma sequência é definida recursivamente pelas equações a1 = 1 e a_{n+1} = 1/3 * (a_n + 4). Mostre que a_n é crescente e a_n < 2 para todo valor de n. Deduza que a_n é convergente e encontre seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado define uma sequência onde o primeiro termo é e cada termo seguinte é dado por . O que precisamos mostrar é que essa sequência está sempre aumentando (é crescente), que todo termo é menor que 2, e que ela converge para um certo limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências recursivas e análise de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que a sequência é crescente. Isso significa que cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, .
Começamos com . Vamos calcular :
Como , o segundo termo já é maior que o primeiro. Agora, suponha que , e vamos ver se isso implica que :
Como , substituindo na expressão de :
Portanto, por indução, a sequência é crescente.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que todo termo da sequência é menor que 2, ou seja, para todo .
Sabemos que . Assumindo que , vamos ver :
Assim, por indução, todos os termos são menores que 2.

Passo 4

Como a sequência é crescente e está limitada superiormente por 2, podemos concluir, pela propriedade das sequências monótonas, que ela converge. Ou seja, existe um limite tal que quando .
Para encontrar o limite, observamos que e vão para :
Resolvendo para :

Resposta

A sequência é crescente, está sempre abaixo de 2, e converge para o limite .

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