Prove que:
© sumk=1^+infty raizk+1-raizkraizk^2+k=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita:
sumk=1^+infty raizk+1 - raizkraizk^2+k = 1
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de séries telescópicas e simplificar a expressão para facilitar a soma.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador raizk^2 + k = raizk(k + 1) = raizk cdot raizk + 1 . Podemos fatorar raizk+1 - raizkraizk cdot raizk + 1 = raizk+1raizk cdot raizk + 1 - raizkraizk cdot raizk + 1 = 1raizk - 1raizk + 1 de dentro da raiz:
Então, a expressão original fica:

Passo 3

Agora, nossa série fica:
sumk=1^+infty ( 1raizk - 1raizk + 1 )
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os primeiros termos.

Passo 4

Vamos somar os primeiros Sn = ( 1raiz1 - 1raiz2 ) + ( 1raiz2 - 1raiz3 ) + cdots + ( 1raizn - 1raizn + 1 ) termos para ver o padrão:
Sn = 1 - 1raizn + 1
Observa que , , …, se cancelam, restando apenas:

Passo 5

Para encontrar a soma infinita, tomamos o limite quando limn to +infty Sn = limn to +infty ( 1 - 1raizn + 1 ) = 1 - 0 = 1 tende ao infinito:

Resposta

Portanto, a soma infinita é igual a 1.
sumk=1^+infty raizk+1 - raizkraizk^2+k = 1

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