Prove que:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma infinita:
Aqui, estamos lidando com uma série infinita que envolve raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de séries telescópicas e simplificar a expressão para facilitar a soma.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar
de dentro da raiz:
Então, a expressão original fica:
Passo 3
Agora, nossa série fica:
Essa é uma série telescópica, o que significa que muitos termos vão se cancelar quando somarmos os primeiros
termos.
Passo 4
Vamos somar os primeiros
termos para ver o padrão:
Observa que
,
, …,
se cancelam, restando apenas:
Passo 5
Para encontrar a soma infinita, tomamos o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
Portanto, a soma infinita é igual a 1.