A 518^{\circ} \mathrm{C}, a meia vida da decomposição de uma amostra de acetaldeído gasoso, inicialmente na pressão de 363 Torr, é 410 s. Quando a pressão era de 169 Torr, a meia vida foi de 880s. Determine a ordem da reação.

Passo 1

O enunciado dá a meia-vida da decomposição de acetaldeído gasoso a uma mesma temperatura para duas condições iniciais de pressão e pede a ordem da reação. Dados fornecidos:
\;T=518^{\circ}\mathrm{C} (não necessário para a ordem, só contextualizando),
\;t_{1/2}=410\\ \mathrm{s} quando a pressão inicial é \;P_1=363\\ \mathrm{Torr},
\;t_{1/2}=880\\ \mathrm{s} quando a pressão inicial é \;P_2=169\\ \mathrm{Torr}.
Pergunta: determinar a ordem da reação (um único número inteiro esperado: ordem \;n).

Passo 2

Primeiro conceito importante: para gases ideais, a concentração molar é proporcional à pressão quando a temperatura é constante. Ou seja, podemos usar a pressão como medida proporcional da concentração inicial:
[A]_0 \propto P.
Isso significa que, ao comparar meias-vidas obtidas a diferentes pressões (mesma temperatura), podemos substituir razões de concentrações por razões de pressões.

Passo 3

Agora a fórmula geral que relaciona meia-vida e concentração para uma reação de ordem \;n.
Começamos da lei de velocidade geral:
-\frac{d[A]}{dt}=k[A]^n,
onde \;[A] é a concentração do reagente, \;k é a constante de velocidade e \;n é a ordem da reação. Integramos para \;n\neq1:
\int_{[A]_0}^{[A]} [A]^{-n}\,d[A] = -k\int_{0}^{t} dt.
A integral do lado esquerdo dá (detalhando):
\left.\frac{[A]^{1-n}}{1-n}\right|_{[A]_0}^{[A]} = -kt,
que resulta em
\frac{[A]^{1-n}-[A]_0^{\,1-n}}{1-n}=-kt.
Rearranjando:
\frac{1}{[A]^{\,n-1}} = (n-1)kt + \frac{1}{[A]_0^{\,n-1}}.
Agora aplicamos o tempo de meia-vida \;t=t_{1/2}, quando \;[A]=[A]_0/2. Substituindo:
\frac{1}{([A]_0/2)^{\,n-1}} = (n-1)k t_{1/2} + \frac{1}{[A]_0^{\,n-1}}.
Calcule a diferença:
\frac{2^{\,n-1}}{[A]_0^{\,n-1}} - \frac{1}{[A]_0^{\,n-1}} = (n-1)k t_{1/2},
ou seja
t_{1/2} = \frac{2^{\,n-1}-1}{(n-1)k [A]_0^{\,n-1}}.
Dessa expressão segue a razão de proporcionalidade útil:
t_{1/2}\propto [A]_0^{\,1-n}.
Portanto, para duas meias-vidas medidas com concentrações iniciais diferentes,
\frac{t_{1/2}^{(1)}}{t_{1/2}^{(2)}} = \left(\frac{[A]_0^{(1)}}{[A]_0^{(2)}}\right)^{\,1-n}.
Usando pressões em vez de concentrações (já que [A]_0\propto P):
\frac{t_{1/2}^{(1)}}{t_{1/2}^{(2)}} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)^{\,1-n}.

Passo 4

Agora aplicamos os números do enunciado. Denotando \;t_1=410\\ \mathrm{s} e \;t_2=880\\ \mathrm{s} e \;P_1=363\\ \mathrm{Torr}, \;P_2=169\\ \mathrm{Torr}, temos:
\frac{410}{880} = \left(\frac{363}{169}\right)^{\,1-n}.
Calcule as razões numéricas (mostrando os passos):
\frac{410}{880}=\frac{41}{88}\approx 0{,}4659091,
\frac{363}{169}\approx 2{,}1485207.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados para isolar 1-n:
\ln\!\left(0{,}4659091\right) = (1-n)\ln\!\left(2{,}1485207\right).
Calculando os logaritmos:
\ln\!\left(0{,}4659091\right)\approx -0{,}76283,
\ln\!\left(2{,}1485207\right)\approx 0{,}76453.
Portanto
1-n = \frac{-0{,}76283}{0{,}76453}\approx -0{,}9978.
Isolando \;n:
n \approx 1 - (-0{,}9978)=1+0{,}9978\approx 1{,}9978\approx 2.
Logo a ordem é essencialmente \;2 (segunda ordem). Isso faz sentido qualitativo: ao diminuir a pressão inicial (concentração), a meia-vida aumentou — comportamento típico de ordem maior que 1; o ajuste numérico dá muito próximo de 2.

Passo 5

Breve comentário didático para a prova: você podia também testar hipóteses simples:
  • Se fosse ordem \;1, \;t_{1/2} seria independente de [A]_0 (não é o caso aqui).
  • Se fosse ordem \;2, \;t_{1/2}\propto 1/[A]_0. Verificando numericamente, \;410 é aproximadamente (363/169) vezes menor que \;880, consistente com segunda ordem.
    Então a conclusão é robusta: reação de segunda ordem. Força aí — você mandou bem acompanhando cada passo!

Resposta

Segunda ordem

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