52 P (Desafio) - Uma esfera maciça, não-condutora, de raio R, tem uma distribuição de carga não uniforme de densidade volumétrica dada por rho=rhos / / R, onde rhos é uma constante e r é a distância do centro da esfera. Mostre que (a) a carga total é Q=pi rhos R^3 e (b) o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dado por
E=13 pi varepsilon0 QR^4 r^2

Passo 1

O enunciado trata de uma esfera não condutora de raio R cuja densidade volumétrica varia com a distância r ao centro segundo
rho(r)=rhos,rR,
sendo rhos constante. Precisamos (a) calcular a carga total
Q=integralesferarho,dV
e (b) determinar o campo elétrico em um ponto interno ( r<R) usando a Lei de Gauss.

Passo 2

Cálculo da carga total:
Q=integral0^Rrho(r),4pi r^2,dr =integral0^Rl(rhosrRr)4pi r^2,dr =4pirhosRintegral0^Rr^3,dr =4pirhosR,R^44 =pi,rhos,R^3

Passo 3

Campo interno pela Lei de Gauss. Para uma calota de raio r<R, a carga enclausurada é
Qrm enc(r) =integral0^rrho(r'),4pi r'^2,dr' =4pirhosRintegral0^rr'^3,dr' =pi,rhos,r^4R
Pela Lei de Gauss
ointEcdot dA =E(r),4pi r^2 =Qrm enc(r)varepsilon0 =pi,rhos,r^4varepsilon0R,
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E(r) =pi,rhos,r^44pi,varepsilon0,R,r^2 =rhos4varepsilon0R;r^2

Passo 4

Expressão em termos de Q. Como Q=pi,rhos,R^3, temos rhos=Q/(pi R^3). Substituindo em E(r):
E(r) =14varepsilon0R,Qpi R^3;r^2 =14pivarepsilon0;QR^4;r^2

Resposta

(a) Q=pi,rhos,R^3
(b) E(r)=14pivarepsilon0,QR^4,r^2 for r<R.

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