52 Dois corpos
e
com o mesmo calor específico, cujas massas são
, têm temperaturas iniciais iguais. Os corpos são aquecidos de duas maneiras diferentes. Em um caso, o calor de uma fonte externa é transferido para um corpo de maior massa, que é então colocado em contato térmico com um corpo de menor massa. No outro caso, o calor de uma fonte externa é transferido para um corpo de menor massa, e este corpo é colocado em contato com o corpo de maior massa. Encontre a razão entre as quantidades de calor recebidas de uma fonte externa nos dois casos, se o calor transferido de um corpo para o outro foi o mesmo em ambos os casos.
Passo 1
Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dois corpos
e têm o mesmo calor específico . - As massas satisfazem
. - As temperaturas iniciais são iguais; chamo essa temperatura de
. - Situação 1: aquece-se o corpo de maior massa (
) com calor externo , sua temperatura sobe para , depois coloca-se em contato com (que está a ) e ocorre uma troca de calor entre eles até o equilíbrio. - Situação 2: aquece-se o corpo de menor massa (
) com calor externo , sua temperatura sobe para , depois coloca-se em contato com (que está a ) e ocorre troca de calor até o equilíbrio. - Informação importante: o calor trocado entre os corpos durante o contato foi o mesmo nos dois casos. Ou seja,
. - Pergunta: encontrar a razão
.
Para facilitar as contas, defino
e portanto
. Também uso
e
.
Passo 2
Relembre a fórmula básica que vamos usar e por quê.
- A fórmula do calor fornecido para elevar a temperatura de um corpo é
onde
é o calor recebido,
a massa,
o calor específico e
a variação de temperatura do corpo. Vou usar isso para expressar
e
.
- Quando dois corpos isolados são colocados em contato térmico, a energia térmica total se conserva (não há trocas externas durante o contato). Assim, para duas massas com calor específico igual, se uma tem temperatura
e outra e equilibram em , vale
isto é, o calor perdido por uma é igual ao calor ganho pela outra. Vou usar essa conservação para achar a temperatura de equilíbrio e o calor trocado durante o contato.
Passo 3
Análise detalhada da Situação 1 (aquecem
primeiro).
- Calor externo aplicado a
:
- Após o aquecimento,
está a e está a . Ao colocá-los em contato, a temperatura final vem de conservação de energia:
Substituindo
e
e simplificando:
Dividindo por
,
- Calor trocado entre
e na Situação 1 (calor que ganhou):
(Verificação alternativa: calor perdido por
é
, mesmo valor.)
Passo 4
Análise detalhada da Situação 2 (aquecem
primeiro).
- Calor externo aplicado a
:
- Depois do aquecimento,
está a e está a . Ao colocá-los em contato, temperatura final obtida por conservação:
Substituindo
,
:
Dividindo por
,
- Calor trocado na Situação 2 (calor que
ganhou, igual ao perdido por ):
Ou visto pelo que
perdeu:
Passo 5
Usar a condição do enunciado e concluir a razão pedida.
- O enunciado diz que o calor trocado entre os corpos foi o mesmo nos dois casos:
Substituindo as expressões que achamos:
Cancelando o fator comum
(não nulo), obtemos
- Agora calculo a razão
. Lembre que
Como
, temos
- Intuição final: para obter a mesma quantidade de calor trocada entre os corpos, em ambos os casos as variações de temperatura iniciais
tiveram que ser iguais; como tem o dobro da massa de , aquecer pela mesma exige o dobro do calor externo.