52 Dois corpos A e B com o mesmo calor específico, cujas massas são m_{A}=2 m_{B}, têm temperaturas iniciais iguais. Os corpos são aquecidos de duas maneiras diferentes. Em um caso, o calor de uma fonte externa é transferido para um corpo de maior massa, que é então colocado em contato térmico com um corpo de menor massa. No outro caso, o calor de uma fonte externa é transferido para um corpo de menor massa, e este corpo é colocado em contato com o corpo de maior massa. Encontre a razão entre as quantidades de calor recebidas de uma fonte externa nos dois casos, se o calor transferido de um corpo para o outro foi o mesmo em ambos os casos.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dois corpos A e B têm o mesmo calor específico c.
  • As massas satisfazem m_A = 2 m_B.
  • As temperaturas iniciais são iguais; chamo essa temperatura de T_0.
  • Situação 1: aquece-se o corpo de maior massa ( A) com calor externo Q_1, sua temperatura sobe para T_A', depois coloca-se A em contato com B (que está a T_0) e ocorre uma troca de calor entre eles até o equilíbrio.
  • Situação 2: aquece-se o corpo de menor massa ( B) com calor externo Q_2, sua temperatura sobe para T_B', depois coloca-se B em contato com A (que está a T_0) e ocorre troca de calor até o equilíbrio.
  • Informação importante: o calor trocado entre os corpos durante o contato foi o mesmo nos dois casos. Ou seja, Q_{\text{int},1} = Q_{\text{int},2}.
  • Pergunta: encontrar a razão \dfrac{Q_1}{Q_2}.
Para facilitar as contas, defino m_B = m e portanto m_A = 2m. Também uso \Delta T_A = T_A' - T_0 e \Delta T_B = T_B' - T_0.

Passo 2

Relembre a fórmula básica que vamos usar e por quê.
  • A fórmula do calor fornecido para elevar a temperatura de um corpo é
Q = m c \Delta T,
onde Q é o calor recebido, m a massa, c o calor específico e \Delta T a variação de temperatura do corpo. Vou usar isso para expressar Q_1 e Q_2.
  • Quando dois corpos isolados são colocados em contato térmico, a energia térmica total se conserva (não há trocas externas durante o contato). Assim, para duas massas com calor específico igual, se uma tem temperatura T_1 e outra T_2 e equilibram em T_f, vale
m_1 c (T_1 - T_f) = m_2 c (T_f - T_2),
isto é, o calor perdido por uma é igual ao calor ganho pela outra. Vou usar essa conservação para achar a temperatura de equilíbrio e o calor trocado durante o contato.

Passo 3

Análise detalhada da Situação 1 (aquecem A primeiro).
  • Calor externo aplicado a A:
Q_1 = m_A c (T_A' - T_0) = 2m c \,\Delta T_A.
  • Após o aquecimento, A está a T_A' = T_0 + \Delta T_A e B está a T_0. Ao colocá-los em contato, a temperatura final T_{f1} vem de conservação de energia:
m_A c T_A' + m_B c T_0 = (m_A + m_B)c T_{f1}.
Substituindo m_A=2m e m_B=m e simplificando:
2m c (T_0+\Delta T_A) + m c T_0 = 3m c \,T_{f1}.
Dividindo por 3m c,
T_{f1} = \dfrac{2(T_0+\Delta T_A)+T_0}{3} = T_0 + \dfrac{2}{3}\Delta T_A.
  • Calor trocado entre A e B na Situação 1 (calor que B ganhou):
Q_{\text{int},1} = m_B c (T_{f1}-T_0) = m c\left(\dfrac{2}{3}\Delta T_A\right)=\dfrac{2}{3} m c\,\Delta T_A.
(Verificação alternativa: calor perdido por A é m_A c (T_A' - T_{f1})=2m c(\Delta T_A-\tfrac{2}{3}\Delta T_A)=\tfrac{2}{3}m c\Delta T_A, mesmo valor.)

Passo 4

Análise detalhada da Situação 2 (aquecem B primeiro).
  • Calor externo aplicado a B:
Q_2 = m_B c (T_B' - T_0) = m c\,\Delta T_B.
  • Depois do aquecimento, B está a T_B' = T_0 + \Delta T_B e A está a T_0. Ao colocá-los em contato, temperatura final T_{f2} obtida por conservação:
m_A c T_0 + m_B c (T_0+\Delta T_B) = (m_A+m_B)c T_{f2}.
Substituindo m_A=2m, m_B=m:
2m c T_0 + m c (T_0+\Delta T_B) = 3m c \,T_{f2}.
Dividindo por 3m c,
T_{f2} = \dfrac{2T_0 + T_0 + \Delta T_B}{3} = T_0 + \dfrac{1}{3}\Delta T_B.
  • Calor trocado na Situação 2 (calor que A ganhou, igual ao perdido por B):
Q_{\text{int},2} = m_A c (T_{f2}-T_0)_{\text{(ganho por A)}} = 2m c\left(\dfrac{1}{3}\Delta T_B\right)=\dfrac{2}{3} m c\,\Delta T_B.
Ou visto pelo que B perdeu:
Q_{\text{int},2} = m_B c (T_B' - T_{f2}) = m c\left(\Delta T_B - \tfrac{1}{3}\Delta T_B\right)=\dfrac{2}{3} m c\,\Delta T_B.

Passo 5

Usar a condição do enunciado e concluir a razão pedida.
  • O enunciado diz que o calor trocado entre os corpos foi o mesmo nos dois casos:
Q_{\text{int},1}=Q_{\text{int},2}.
Substituindo as expressões que achamos:
\dfrac{2}{3} m c\,\Delta T_A = \dfrac{2}{3} m c\,\Delta T_B.
Cancelando o fator comum \tfrac{2}{3} m c (não nulo), obtemos
\Delta T_A = \Delta T_B.
  • Agora calculo a razão \dfrac{Q_1}{Q_2}. Lembre que
Q_1 = 2m c\,\Delta T_A,\qquad Q_2 = m c\,\Delta T_B.
Como \Delta T_A=\Delta T_B, temos
\dfrac{Q_1}{Q_2} = \dfrac{2m c\,\Delta T_A}{m c\,\Delta T_B} = \dfrac{2m c}{m c}\cdot\dfrac{\Delta T_A}{\Delta T_B} = 2\cdot 1 = 2.
  • Intuição final: para obter a mesma quantidade de calor trocada entre os corpos, em ambos os casos as variações de temperatura iniciais \Delta T tiveram que ser iguais; como A tem o dobro da massa de B, aquecer A pela mesma \Delta T exige o dobro do calor externo.

Resposta

\dfrac{Q_1}{Q_2}=2

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