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Em uma caixa, há exatamente 3 bolas, cada uma delas identificada com um número diferente escolhido no conjunto
. Em outra caixa, há exatamente 4 bolas, cada uma delas identificada com um número diferente escolhido no conjunto {4,5,6,7}.
Uma bola é sorteada ao acaso de cada uma das caixas. Se
e
representam, respectivamente, as probabilidades de que os números das bolas sorteadas deem soma par e soma ímpar, então
(A)
(B)
(C)
(D)
Uma bola é sorteada ao acaso de cada uma das caixas. Se
(A)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Há uma caixa A com exatamente
bolas, numeradas com números distintos retirados do conjunto . Como são bolas e os números do conjunto também são , concluímos que as bolas em A são . - Há uma caixa B com exatamente
bolas, numeradas com números distintos retirados do conjunto . Logo, as bolas em B são . - Sorteia-se uma bola de cada caixa, de forma aleatória e igualmente provável.
- Definem-se
e como, respectivamente, as probabilidades de que a soma dos números sorteados seja par e ímpar.
O enunciado pede que se relacione
e
(ou escolha a alternativa correta entre (A)–(D)).
Passo 2
Entender a paridade das somas (uma pequena aula de paridade).
- Regra fundamental: a soma de dois números é par se ambos têm a mesma paridade (par+par ou ímpar+ímpar). A soma é ímpar se as paridades forem diferentes (par+ímpar ou ímpar+par).
- Vamos identificar quantos números pares e ímpares há em cada caixa.
Em A (números
):
- Números pares: apenas
. Então há . - Números ímpares:
e . Então .
Em B (números
):
- Números pares:
. Então . - Números ímpares:
. Então .
Passo 3
Contar combinações favoráveis usando contagem direta (método seguro em prova).
- Número total de pares possíveis (um da caixa A e um da caixa B) é
. Cada par é igualmente provável. - Para a soma ser par, precisamos de (par em A e par em B) OU (ímpar em A e ímpar em B).
- Casos par+par:
. - Casos ímpar+ímpar:
. - Total de casos com soma par:
.
- Casos par+par:
- Portanto a probabilidade de soma par é
Passo 4
Calcular
(probabilidade de soma ímpar) e comparar com
.
- Como soma par e soma ímpar são os únicos resultados possíveis e mutuamente exclusivos, tem-se
- Substituindo
obtemos
- Conclusão:
e , logo
Passo 5
Observação alternativa (mais direta usando probabilidades marginais): se preferir usar probabilidades em vez de contagem, note que em A
,
; em B
,
. Então
e
, obtendo o mesmo resultado.