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Em uma caixa, há exatamente 3 bolas, cada uma delas identificada com um número diferente escolhido no conjunto \{1,2,3\}. Em outra caixa, há exatamente 4 bolas, cada uma delas identificada com um número diferente escolhido no conjunto {4,5,6,7}.
Uma bola é sorteada ao acaso de cada uma das caixas. Se p e q representam, respectivamente, as probabilidades de que os números das bolas sorteadas deem soma par e soma ímpar, então
(A) p=\frac{q}{2}
(B) p=\frac{3 q}{4}
(C) p=q
(D) p=\frac{4 q}{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Há uma caixa A com exatamente 3 bolas, numeradas com números distintos retirados do conjunto \{1,2,3\}. Como são 3 bolas e os números do conjunto também são 3, concluímos que as bolas em A são 1,2,3.
  • Há uma caixa B com exatamente 4 bolas, numeradas com números distintos retirados do conjunto \{4,5,6,7\}. Logo, as bolas em B são 4,5,6,7.
  • Sorteia-se uma bola de cada caixa, de forma aleatória e igualmente provável.
  • Definem-se p e q como, respectivamente, as probabilidades de que a soma dos números sorteados seja par e ímpar.
O enunciado pede que se relacione p e q (ou escolha a alternativa correta entre (A)–(D)).

Passo 2

Entender a paridade das somas (uma pequena aula de paridade).
  • Regra fundamental: a soma de dois números é par se ambos têm a mesma paridade (par+par ou ímpar+ímpar). A soma é ímpar se as paridades forem diferentes (par+ímpar ou ímpar+par).
  • Vamos identificar quantos números pares e ímpares há em cada caixa.
Em A (números 1,2,3):
  • Números pares: apenas 2. Então há \#\{\text{pares em A}\}=1.
  • Números ímpares: 1 e 3. Então \#\{\text{ímpares em A}\}=2í.
Em B (números 4,5,6,7):
  • Números pares: 4,6. Então \#\{\text{pares em B}\}=2.
  • Números ímpares: 5,7. Então \#\{\text{ímpares em B}\}=2í.

Passo 3

Contar combinações favoráveis usando contagem direta (método seguro em prova).
  • Número total de pares possíveis (um da caixa A e um da caixa B) é \#\text{total}=3\times4=12. Cada par é igualmente provável.
  • Para a soma ser par, precisamos de (par em A e par em B) OU (ímpar em A e ímpar em B).
    • Casos par+par: \#\{\text{par+par}\} = 1\cdot 2 = 2.
    • Casos ímpar+ímpar: \#\{\text{ímpar+ímpar}\} = 2\cdot 2 = 4íí.
    • Total de casos com soma par: 2+4=6.
  • Portanto a probabilidade de soma par é
p=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular q (probabilidade de soma ímpar) e comparar com p.
  • Como soma par e soma ímpar são os únicos resultados possíveis e mutuamente exclusivos, tem-se
q = 1-p.
  • Substituindo p=\frac{1}{2} obtemos
q = 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Conclusão: p=\frac{1}{2} e q=\frac{1}{2}, logo
p=q.

Passo 5

Observação alternativa (mais direta usando probabilidades marginais): se preferir usar probabilidades em vez de contagem, note que em A P(\text{par})=\frac{1}{3}, P(\text{ímpar})=\frac{2}{3}í; em B P(\text{par})=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, P(\text{ímpar})=\frac{1}{2}í. Então
p = P(\text{par}_A)P(\text{par}_B)+P(\text{ímpar}_A)P(\text{ímpar}_B)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2},íí
e q=1-p=\frac{1}{2}, obtendo o mesmo resultado.

Resposta

p=q (C)

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