53

Na Geometria Euclidiana, dado um triângulo A B C qualquer, todo ângulo externo é maior que qualquer ângulo interno não adjacente a ele. É também verdade que
(A) se \overline{B C}<\overline{A B}, então A \hat{C} B<B \hat{A} C.
(B) se A \hat{B} C<B \hat{A} C, então \overline{B C}<\overline{A C}.
(C) se \overline{A C} é o menor segmento unindo a reta \overleftrightarrow{B C} ao ponto A, então \overline{A B}>\overline{A C}.
(D) se D é ponto da reta \overleftrightarrow{B C} tal que \overline{B D}=\overline{C D}, então B \hat{A} D=D \hat{A} C.
(E) se E é ponto da reta \overleftrightarrow{B C} tal que \overline{A C}=\overline{A E}, então A \hat{C} B=A \hat{E} B.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo qualquer A B C e pede para verificar se as afirmações (A)–(E) são verdadeiras. Vou listar novamente, exatamente como estão, porque é fácil se confundir qual ângulo ou qual segmento cada uma menciona:
  • (A) Se \overline{B C}<\overline{A B}, então A\hat{C}B < B\hat{A}C.
  • (B) Se A\hat{B}C < B\hat{A}C, então \overline{B C}<\overline{A C}.
  • (C) Se \overline{A C} é o menor segmento unindo a reta \overleftrightarrow{B C} ao ponto A, então \overline{A B}>\overline{A C}.
  • (D) Se D é ponto da reta \overleftrightarrow{B C} tal que \overline{B D}=\overline{C D}, então B\hat{A}D = D\hat{A}C.
  • (E) Se E é ponto da reta \overleftrightarrow{B C} tal que \overline{A C}=\overline{A E}, então A\hat{C}B = A\hat{E}B.
Informações relevantes que temos (diretas do enunciado ou requisitos geométricos que serão usadas):
  • O triângulo A B C é qualquer (não há hipóteses extras).
  • Conhecimentos úteis que vou usar: relação lado–ângulo (lado maior é oposto ao ângulo maior), propriedade do menor segmento de um ponto a uma reta (é a perpendicular), e critérios de congruência de triângulos (no caso triângulos retângulos: hipotenusa+cateto ou hipotenusa-leg).

Passo 2

Análise da afirmação (A). Primeiro traduzir e organizar a lógica:
  • \overline{B C}<\overline{A B} significa: o lado B C (oposto ao vértice A) é menor que o lado A B (oposto ao vértice C).
  • Lema fundamental (que vou usar e explicar): em qualquer triângulo, o maior lado está oposto ao maior ângulo; equivalentemente, se um lado é menor que outro, então o ângulo oposto ao primeiro é menor que o ângulo oposto ao segundo.
Aplicando o lema:
  • \overline{B C}<\overline{A B} implica que o ângulo oposto a \overline{B C}, que é B\hat{A}C (ângulo no vértice A), é menor que o ângulo oposto a \overline{A B}, que é A\hat{C}B (ângulo no vértice C). Em símbolos: \overline{B C}<\overline{A B}\quad\Rightarrow\quad B\hat{A}C < A\hat{C}B.
  • Mas (A) afirma o oposto: A\hat{C}B < B\hat{A}C.
Conclusão: (A) é falsa porque contradiz a relação lado–ângulo correta. (Explicação conceitual: lado menor ↔ ângulo menor; o enunciado de (A) inverte a correspondência.)

Passo 3

Análise da afirmação (B).
  • Dado: A\hat{B}C < B\hat{A}C. Isto é, o ângulo no vértice B é menor que o ângulo no vértice A.
  • Usando novamente a relação lado–ângulo (converso): se um ângulo é menor, o lado oposto a esse ângulo é menor.
    • O lado oposto ao ângulo A\hat{B}C é \overline{A C}.
    • O lado oposto ao ângulo B\hat{A}C é \overline{B C}.
  • Logo A\hat{B}C < B\hat{A}C implica \overline{A C} < \overline{B C}, isto é \overline{B C} > \overline{A C}.
A afirmação (B) diz \overline{B C}<\overline{A C}, que é exatamente o contrário do que a relação lado–ângulo nos garante. Portanto (B) também é falsa.

Passo 4

Análise da afirmação (C).
  • Hipótese: \overline{A C} é o menor segmento que une a reta \overleftrightarrow{B C} ao ponto A.
  • Teorema usado (muito importante e clássico): o segmento de menor comprimento que une um ponto a uma reta é o segmento perpendicular à reta que parte do ponto. Em outras palavras, se C é o ponto da reta \overleftrightarrow{B C} cuja distância a A é mínima, então A C\perp \overleftrightarrow{B C}. Assim A C é a perpendicular do ponto A à reta B C.
  • Portanto, no triângulo A B C temos \angle A C B = 90^\circ; isto é, o triângulo é retângulo em C.
  • Em qualquer triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa, e a hipotenusa é maior que qualquer cateto. Aqui a hipotenusa é \overline{A B} (oposta a \angle A C B), e \overline{A C} é um cateto.
  • Logo \overline{A B} > \overline{A C}.
Conclusão: (C) é verdadeira.
(Aqui uma mini-aula rápida: por que a perpendicular é o menor? Se projetarmos qualquer outro ponto X da reta B C e considerarmos o triângulo retângulo formado pela perpendicular A–pé e o segmento para X, pela desigualdade no triângulo (cateto < hipotenusa) tem-se AX> distância perpendicular. Assim a perpendicular dá o mínimo.)

Passo 5

Análise da afirmação (D).
  • Hipótese: D é ponto da reta \overleftrightarrow{B C} tal que \overline{B D}=\overline{C D}. Isso significa que D é o ponto médio de B e C; geometricamente, D é o ponto do segmento B C (ou da reta) equidistante de B e C.
  • A conclusão em (D) é: B\hat{A}D = D\hat{A}C, ou seja, o segmento A D seria uma bissetriz do ângulo \angle B A C.
  • Observação chave: a reta que liga um vértice A ao ponto médio D de B C é a mediana A D. Em geral, a mediana não coincide com a bissetriz do ângulo em A; isso só ocorre quando o triângulo é isósceles com A no vértice (isto é, quando \overline{A B}=\overline{A C}).
  • Para demonstrar que (D) é falsa em geral, um contraexemplo numérico simples basta. Considere, por exemplo, B=(0,0),\quad C=(2,0),\quad A=(0,1).Então D é o ponto médio de B C, logo D=(1,0).
    • Calcule os vetores para os ângulos no vértice A: \vec{A B} = (0,0)-(0,1) = (0,-1),\qquad \vec{A D} = (1,0)-(0,1) = (1,-1),\qquad \vec{A C} = (2,0)-(0,1) = (2,-1).
    • Usando produto escalar para obter os cossenos: \cos(B\hat{A}D)=\frac{\vec{A B}\cdot\vec{A D}}{|\vec{A B}||\vec{A D}|} =\frac{(0,-1)\cdot(1,-1)}{1\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\quad\Rightarrow\quad B\hat{A}D=45^\circ.
\cos(D\hat{A}C)=\frac{\vec{A D}\cdot\vec{A C}}{|\vec{A D}||\vec{A C}|} =\frac{(1,-1)\cdot(2,-1)}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\quad\Rightarrow\quad D\hat{A}C\approx18{,}4^\circ.
  • Os ângulos são diferentes; portanto B\hat{A}D\ne D\hat{A}C neste exemplo.
  • Conclusão: (D) é falsa em geral (só seria verdadeira em triângulos isósceles com \overline{A B}=\overline{A C}).

Passo 6

Análise da afirmação (E).
  • Hipótese: E é ponto da reta \overleftrightarrow{B C} tal que \overline{A C}=\overline{A E}.
  • Objetivo: mostrar que A\hat{C}B = A\hat{E}B, ou seja, o ângulo formado por A C e C B é igual ao formado por A E e E B.
Construção e argumento (passo a passo, didático):
  1. Como C e E pertencem à mesma reta \overleftrightarrow{B C} e A C = A E, os pontos C e E são dois pontos distintos (possivelmente C=E caso degenerado) da mesma linha equidistantes de A. Considere M o ponto médio do segmento C E. Então M pertence à reta \overleftrightarrow{B C}.
  2. Pelo fato de A ser o centro da circunferência que passa por C e E (já que A C = A E), a reta A M (reta que passa do centro ao ponto médio do arco/chord) é perpendicular ao chord C E. Assim A M é perpendicular à reta \overleftrightarrow{B C}.
    • Intuição rápida: em uma circunferência, a reta do centro ao ponto médio de uma corda é perpendicular à corda; aqui o “centro” é A da circunferência de raio A C e a corda é C E.
  3. Agora olhe os triângulos retângulos \triangle A M C e \triangle A M E:
    • Ambos são retângulos em M (porque A M\perp C E).
    • A M é um lado comum.
    • M C = M E por construção (M é o ponto médio de C E).
    • Logo os triângulos são congruentes (critério cateto–hipotenusa ou cateto–cateto em triângulos retângulos; aqui temos cateto comum A M e catetos iguais M C e M E, ou também hipotenusas iguais A C = A E e cateto A M comum).
  4. Da congruência \triangle A M C \cong \triangle A M E decorre que os ângulos \angle A C M e \angle A E M são iguais.
  5. Como C, M, B são colineares e E, M, B também são colineares, os ângulos \angle A C M e \angle A C B são o mesmo ângulo (medida), bem como \angle A E M e \angle A E B coincidem (apenas estendendo o lado do segmento na mesma reta não altera a medida do ângulo interno). Portanto A\hat{C}B = \angle A C M = \angle A E M = A\hat{E}B.
  • Conclusão: (E) é verdadeira.
Comentário intuitivo: C e E ficam simétricos em relação ao pé da perpendicular de A sobre a reta B C; por essa simetria, os ângulos que o segmento A forma com a reta em C e em E são iguais.

Resposta

(C)
(E)

Exercícios relacionados