4.52
r=\cos (\theta)+\operatorname{sen}(\theta) \Rightarrow x{2}+y{2}=x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação em coordenadas polares
r = \cos\theta + \sin\theta
e pede sua forma em coordenadas cartesianas. Para isso, vamos usar as relações de conversão
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r^{2} = x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados de r = \cos\theta + \sin\theta por r, obtendo
r^{2} = r\cos\theta + r\sin\theta.

Passo 3

Agora substituímos
r^{2} = x^{2}+y^{2},\quad r\cos\theta = x,\quad r\sin\theta = y,
de modo que a equação fica
x^{2}+y^{2} = x + y.

Resposta

x^{2} + y^{2} = x + y

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