Questão1) ( 4,0 ) Um circuito RLC série com R=10, L=50 \mathrm{mH}, e C=100 \mu \mathrm{~F} é alimentado por uma fonte de V=120 \mathrm{~V} RMS a 60 Hz
a) Calcule a frequência de ressonância do circuito.
b) Determine o fator de potência do circuito.
c) Projete um capacitor que corrija o fator de poténcia do Circuito para 0,98. Diga como o novo capacitor é conectado ao circuito.
\begin{aligned} & -f_{p}=\cos \varphi \\\ & -\omega(\mathrm{rad} / \mathrm{s})=2 \pi f(\mathrm{~Hz}) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC com \;R=10\,\Omega, \;L=50\,\mathrm{mH}, \;C=100\,\mu\mathrm F
alimentado por V=120\,\mathrm V (RMS) a f=60 Hz.
Vamos calcular:
(a) frequência de ressonância \displaystyle f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}};
(b) fator de potência \cos\varphi usando \varphi=\arctan\bigl((X_L - X_C)/R\bigr);
(c) capacitor de correção, ligado em paralelo ao circuito, para elevar o PF a 0,98.

Passo 2

Calcular a frequência de ressonância. Primeiro
\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} = \frac{1}{\sqrt{(50\times10^{-3})(100\times10^{-6})}} = \frac{1}{\sqrt{5\times10^{-6}}}\approx447{,}2\;\mathrm{rad/s}.
Logo
f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi}\approx \frac{447{,}2}{2\pi}\approx71{,}2\;\mathrm{Hz}.

Passo 3

Em f=60 Hz, \omega=2\pi\cdot60\approx377\;\mathrm{rad/s}. Calculamos
X_L = \omega\,L = 377\cdot0.05\approx18{,}85\;\Omega, \qquad X_C = \frac{1}{\omega\,C} = \frac{1}{377\cdot100\times10^{-6}}\approx26{,}53\;\Omega.
O desbalance reativo é \Delta X = X_L - X_C = -7{,}68\;\Omega,
e a impedância resultante
|Z| = \sqrt{R^2 + (\Delta X)^2} = \sqrt{10^2 + (-7{,}68)^2}\approx12{,}61\;\Omega.
Então a corrente RMS é \;I = V/|Z|\approx120/12{,}61\approx9{,}52 A.
O fator de potência é
\cos\varphi = \frac{R}{|Z|}\approx\frac{10}{12{,}61}\approx0{,}79,
com desfasagem \varphi=\operatorname{arccos}(0{,}79)\approx37{,}7^\circ (circuito capacitivo).

Passo 4

Para corrigir o PF a 0,98, primeiro obtemos
\tan\varphi_d = \sqrt{\frac{1}{(0{,}98)^2}-1}\approx0{,}203.
A potência ativa entregue ao RLC é
P = V\,I\,\cos\varphi = 120\cdot9{,}52\cdot0{,}79\approx903{,}6\;\mathrm W.
A reativa inicial (em módulo) é
Q_{\rm init} = P\,\tan\varphi = 903{,}6\cdot\tan(37{,}7^\circ)\approx694\;\mathrm{var}.
Para o PF desejado, a reativa final (em módulo) seria
Q_d = P\,\tan\varphi_d \approx903{,}6\cdot0{,}203\approx183\;\mathrm{var}.
Logo o capacitor de correção deve suprir
Q_C = Q_{\rm init}-Q_d \approx694 -183 = 511\;\mathrm{var}.
Como em paralelo temos
Q_C = V^2\,\omega\,C \quad\Longrightarrow\quad C = \frac{Q_C}{V^2\,\omega} = \frac{511}{(120)^2\cdot377}\approx9{,}45\times10^{-5}\,\mathrm F =94{,}5\,\mu\mathrm F.
Esse capacitor de 94{,}5\,\mu\mathrm F é ligado em paralelo aos terminais da fonte, junto ao circuito série RLC.

Resposta

(a) f_0\approx71{,}2,Hz
(b) \cos\varphi\approx0{,}79 (circuito capacitivo)
(c) C_{\mathrm{corr}}\approx94{,}5\,\mu\mathrm F, ligado em paralelo ao circuito.

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