S-3.53 Em um certo país, as cédulas são de 4 $7, inclusive.
(b) a partir de 18, inclusive.
(d) que seja 1 ú$3.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos apenas cédulas de $4 e $7 e queremos ver quais afirmações abaixo são verdadeiras, isto é, para quais delas toda quantia inteira do tipo indicado pode ser formada como combinação de 4 e 7.

Passo 2

O problema de representar quantias com duas moedas ou cédulas coprimas ,a e ,b leva ao chamado problema de Frobenius. O maior valor inteiro que não se pode pagar é
ab - a - b
Aqui a=4 e b=7, logo o maior não representável é
4cdot7 - 4 - 7 = 28 - 11 = 17
Isso significa que toda quantia N>=18 pode ser formada sem troco usando combinações de 4 e 7.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “com elas é possível pagar qualquer quantia inteira a partir de $18, inclusive.”
Pelo resultado acima, de fato toda N>=18 é representável.
Logo (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a afirmação (a): “a partir de $11, inclusive.”
Verificamos:
  • ,11=4+7 ok;
  • ,12=3cdot4 ok;
  • ,13 não pode ser escrito como 4x+7y (fica sobrar 1 ou 2);
    logo já em 13 falha.
    Portanto (a) é falsa.

Passo 5

Analisando a afirmação (c): “ímpar, a partir de $7, inclusive.”
Checamos os ímpares:
  • ,7 ok;
  • ,9 não (fica 9-7=2 que não se paga com 4);
  • ,11 ok mas ,13 não, etc.
    Logo não são todos os ímpares a partir de 7.
    Portanto (c) é falsa.

Passo 6

Analisando (d) e (e) sem limite de valor:
  • (d) valores congruentes a 1 pmod3: por exemplo 10 e 13 não são representáveis.
  • (e) valores congruentes a 2 pmod3: por exemplo 5 e 17 não são representáveis.
    Como não há nenhuma restrição de “a partir de …” nas afirmações, ambas falham já em casos pequenos.
    Portanto (d) e (e) são falsas.

Resposta

(b)

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