S-3.53 Em um certo país, as cédulas são de
4
$7, inclusive.
(b) a partir de
18, inclusive.
(d) que seja
1
$3.
(b) a partir de
(d) que seja
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos apenas cédulas de
e
e queremos ver quais afirmações abaixo são verdadeiras, isto é, para quais delas toda quantia inteira do tipo indicado pode ser formada como combinação de
e
.
Passo 2
O problema de representar quantias com duas moedas ou cédulas coprimas
e
leva ao chamado problema de Frobenius. O maior valor inteiro que não se pode pagar é
Aqui
e
, logo o maior não representável é
Isso significa que toda quantia
pode ser formada sem troco usando combinações de
e
.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “com elas é possível pagar qualquer quantia inteira a partir de
, inclusive.”
Pelo resultado acima, de fato toda é representável.
Logo (b) é verdadeira.
Pelo resultado acima, de fato toda
Logo (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a afirmação (a): “a partir de
, inclusive.”
Verificamos:
Verificamos:
-
ok; -
ok; -
não pode ser escrito como (fica sobrar ou );
logo já emfalha.
Portanto (a) é falsa.
Passo 5
Analisando a afirmação (c): “ímpar, a partir de
, inclusive.”
Checamos os ímpares:
Checamos os ímpares:
-
ok; -
não (fica que não se paga com ); -
ok mas não, etc.
Logo não são todos os ímpares a partir de.
Portanto (c) é falsa.
Passo 6
Analisando (d) e (e) sem limite de valor:
- (d) valores congruentes a
: por exemplo e não são representáveis. - (e) valores congruentes a
: por exemplo e não são representáveis.
Como não há nenhuma restrição de “a partir de …” nas afirmações, ambas falham já em casos pequenos.
Portanto (d) e (e) são falsas.
Resposta
(b)