Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=sen 3 te^t

Passo 1

Beleza, então o problema é encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = sin 3te^t . Isso envolve conceitos de cálculo integral e de transformadas, que são ferramentas poderosas para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver, vamos precisar conhecer a definiação da transformada de Laplace e algumas propriedades básicas, como a transformada de funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da transformada de Laplace. Sabemos que dividir por e^t é o mesmo que multiplicar por e^-t . Então,
f(t) = sin 3te^t = sin 3t cdot e^-t

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a transformada de Laplace de uma função f(t) é dada por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
No nosso caso, queremos encontrar Lsin 3t cdot e^-t .

Passo 4

Existe uma propriedade útil da transformada de Laplace que diz que se temos f(t) cdot e^at , então sua transformada é F(s - a) , onde F(s) é a transformada de f(t) . Aplicando isso:
Lsin 3t cdot e^-t = Lsin 3t com s substituído por s + 1 í

Passo 5

Sabemos que a transformada de sin omega t é:
Lsin omega t = omegas^2 + omega^2
No nosso caso, omega = 3 , então:
Lsin 3t = 3s^2 + 9

Passo 6

Aplicando a propriedade da etapa anterior, substituímos s por s + 1 :
Lsin 3t cdot e^-t = 3(s + 1)^2 + 9

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = sin 3te^t é:
Lf(t) = 3(s + 1)^2 + 9

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