S-3.52

(a) Dados a e b inteiros fixados, quando é que os números da forma a x+b y, com x, y in Z representam todos os inteiros?
(b) Quais são os números representados por 2 x+3 y ?
(c) Quais são os números representados por 6 x+9 y ?

Passo 1

O enunciado trata de combinações lineares inteiras do tipo ax+by com x,yinZ. Em (a) quer-se saber em que condições essas combinações representam todos os inteiros; em (b) e (c) pede-se o conjunto de inteiros representados para casos específicos. O conteúdo chave é o Teorema de Bézout e a relação entre combinações lineares e o máximo divisor comum.

Passo 2

Pela identidade de Bézout, para quaisquer a,binZ existe d=gcd(a,b) tal que
exists,x0,y0inZ: a x0 + b y0 = d
Além disso, o conjunto de todos os valores ax+by com x,yinZ é exatamente o conjunto dos múltiplos de d, ou seja,
,ax+bymid x,yinZ = dZ = ,dkmid kinZ

Passo 3

(a) Para que ax+bymid x,yinZ seja todo Z, precisamos de
dZ = Z,
o que ocorre exatamente quando d=1. Logo, ax+by representa todos os inteiros se e somente se
gcd(a,b)=1

Passo 4

(b) No caso a=2 e b=3 temos
gcd(2,3)=1,
portanto, pela parte (a), o conjunto de inteiros representados por 2x+3y é
Z

Passo 5

(c) No caso a=6 e b=9 temos
gcd(6,9)=3,
logo o conjunto de inteiros representados por 6x+9y é
3Z = ,3kmid kinZ

Resposta

(a) ax+by representa todos os inteiros se, e somente se, gcd(a,b)=1.
(b) O conjunto de números representados por 2x+3y é Z.
(c) O conjunto de números representados por 6x+9y é ,3kmid kinZ.

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