S-3.52
(a) Dados
e
inteiros fixados, quando é que os números da forma
, com
representam todos os inteiros?
(b) Quais são os números representados por
?
(c) Quais são os números representados por
?
(b) Quais são os números representados por
(c) Quais são os números representados por
Passo 1
O enunciado trata de combinações lineares inteiras do tipo
com
. Em (a) quer-se saber em que condições essas combinações representam todos os inteiros; em (b) e (c) pede-se o conjunto de inteiros representados para casos específicos. O conteúdo chave é o Teorema de Bézout e a relação entre combinações lineares e o máximo divisor comum.
Passo 2
Pela identidade de Bézout, para quaisquer
existe
tal que
Além disso, o conjunto de todos os valores
com
é exatamente o conjunto dos múltiplos de
, ou seja,
Passo 3
(a) Para que
seja todo
, precisamos de
o que ocorre exatamente quando
. Logo,
representa todos os inteiros se e somente se
Passo 4
(b) No caso
e
temos
portanto, pela parte (a), o conjunto de inteiros representados por
é
Passo 5
(c) No caso
e
temos
logo o conjunto de inteiros representados por
é
Resposta
(a)
representa todos os inteiros se, e somente se,
.
(b) O conjunto de números representados por é
.
(c) O conjunto de números representados por é
.
(b) O conjunto de números representados por
(c) O conjunto de números representados por