Justifique que lim x -infty raizx^2+4x é diferente de lim x infty raizx^2+4x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
limxto-inftyraizx^2+4x neq limxto+inftyraizx^2+4x
O conteúdo é cálculo de limites no infinito e uso da definição de valor absoluto em função de x. Vamos reescrever a raiz para identificar o papel de lvert xrvert.

Passo 2

Para xneq 0 temos
raizx^2+4 =raizx^2l(1+4x^2r) =lvert xrvert;raiz1+4x^2
Logo
raizx^2+4x =lvert xrvertx;raiz1+4x^2

Passo 3

Note que
limxtopminftyraiz1+4x^2 =raiz1+0 =1
Fica então
raizx^2+4x simlvert xrvertxtimes 1 =lvert xrvertx

Passo 4

Quando xto+infty temos lvert xrvert=x, logo
limxto+inftylvert xrvertx =limxto+inftyxx =1 Longrightarrow limxto+inftyraizx^2+4x=1

Passo 5

Quando xto-infty temos lvert xrvert=-x, pois x<0. Portanto
limxto-inftylvert xrvertx =limxto-infty-xx =-1 Longrightarrow limxto-inftyraizx^2+4x=-1

Passo 6

Como um limite vale 1 e o outro vale -1, eles são diferentes.

Resposta

limxto+inftyraizx^2+4x=1, limxto-inftyraizx^2+4x=-1,
portanto os dois limites não coincidem.

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