2.53 Uma placa com dimensões
é colocada o,37 mm distante de outra placa fixa. A placa requer uma força de 2 N para se mover a uma velocidade de
. Determine a viscosidade do fluido entre as placas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Dimensões da placa:
. - Espaçamento entre placas:
. - Força necessária para manter o movimento:
. - Velocidade da placa móvel relativa à fixa:
.
- Dimensões da placa:
-
Valores numéricos (convertidos para unidades do SI, peguei as grandezas do enunciado):
- Área
. - Separação
. - Velocidade
. - Força
.
- Área
-
O que o problema pede:
- Determinar a viscosidade dinâmica
do fluido entre as placas.
- Determinar a viscosidade dinâmica
Passo 2
Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando duas placas paralelas estão separadas por um fluido e uma placa desliza com velocidade constante
enquanto a outra é fixa, forma-se um escoamento de cisalhamento (escoamento de Couette). Para um fluido newtoniano e escoamento estacionário simples, o perfil de velocidade entre as placas é aproximadamente linear, e a tensão de cisalhamento (shear stress)
no fluido é dada por:
onde:
-
é a tensão de cisalhamento (em ), -
é a viscosidade dinâmica do fluido (em ), -
é o gradiente de velocidade perpendicular às placas (em ): taxa de variação da velocidade no sentido .
No caso de perfil linear entre as placas separadas por distância
, com diferença de velocidade
entre elas,
A força de atrito viscosa total necessária para arrastar a placa é a tensão vezes a área:
Passo 3
Deduzir a expressão para
a partir das fórmulas acima.
Substituindo
em
obtemos:
Isolando
temos a fórmula que vamos usar:
Aqui:
-
é a força dada, -
é a separação entre placas, -
é a área da placa, -
é a velocidade relativa.
Passo 4
Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas).
Escrevendo a expressão com os números (todos em SI, peguei os números do enunciado e converti conforme o Passo 1):
Calcular o numerador:
Calcular o denominador:
Agora dividir:
Para dividir, pode-se transformar em notação conveniente:
e
. Fazendo a divisão direta obtemos aproximadamente
Arredondando com razoável número de algarismos (os dados têm duas casas significativas na velocidade e dois na força), usemos duas casas significativas:
Passo 5
Verificação rápida de unidades e plausibilidade (didática e incentivo).
- Analisando unidades:
. Está consistente. - Comentário de interpretação: o valor encontrado,
, é menor que a viscosidade da água ( à temperatura ambiente), o que indica um fluido mais pouco viscoso (p.ex. um gás ou óleo muito fino). Isso só para intuição — o cálculo está feito com as hipóteses de escoamento laminar e perfil linear (modelo de Couette), que é o modelo apropriado para esse enunciado.
Força e paciência: mandou bem buscando a solução — isso é o tipo de conta que cai na prova e agora você tem o passo a passo para reproduzir.