2.53 Uma placa com dimensões 3 \mathrm{~m} \times 3 \mathrm{~m} é colocada o,37 mm distante de outra placa fixa. A placa requer uma força de 2 N para se mover a uma velocidade de 45 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Determine a viscosidade do fluido entre as placas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Dimensões da placa: 3\\ \mathrm{m}\times3\\ \mathrm{m}.
    • Espaçamento entre placas: 0,37\\ \mathrm{mm}.
    • Força necessária para manter o movimento: 2\\ \mathrm{N}.
    • Velocidade da placa móvel relativa à fixa: 45\\ \mathrm{cm/s}.
  • Valores numéricos (convertidos para unidades do SI, peguei as grandezas do enunciado):
    • Área A = 3\\ \mathrm{m}\times3\\ \mathrm{m}=9\\ \mathrm{m}^2.
    • Separação d = 0,37\\ \mathrm{mm} = 0,37\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=0,00037\\ \mathrm{m}.
    • Velocidade U = 45\\ \mathrm{cm/s} = 0,45\\ \mathrm{m/s}.
    • Força F = 2\\ \mathrm{N}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar a viscosidade dinâmica \mu do fluido entre as placas.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando duas placas paralelas estão separadas por um fluido e uma placa desliza com velocidade constante U enquanto a outra é fixa, forma-se um escoamento de cisalhamento (escoamento de Couette). Para um fluido newtoniano e escoamento estacionário simples, o perfil de velocidade entre as placas é aproximadamente linear, e a tensão de cisalhamento (shear stress) \tau no fluido é dada por:
\tau = \mu \frac{du}{dy},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (em \mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}),
  • \mu é a viscosidade dinâmica do fluido (em \mathrm{Pa\cdot s}),
  • \dfrac{du}{dy} é o gradiente de velocidade perpendicular às placas (em \mathrm{s^{-1}}): taxa de variação da velocidade u no sentido y.
No caso de perfil linear entre as placas separadas por distância d, com diferença de velocidade U entre elas,
\frac{du}{dy} \approx \frac{U}{d}.
A força de atrito viscosa total necessária para arrastar a placa é a tensão vezes a área:
F = \tau A.

Passo 3

Deduzir a expressão para \mu a partir das fórmulas acima.
Substituindo \tau=\mu\frac{U}{d} em F=\tau A obtemos:
F = \mu \frac{U}{d} A.
Isolando \mu temos a fórmula que vamos usar:
\mu = \frac{F\, d}{A\, U}.
Aqui:
  • F é a força dada,
  • d é a separação entre placas,
  • A é a área da placa,
  • U é a velocidade relativa.

Passo 4

Substituir os valores numéricos e calcular passo a passo (sem pular contas).
Escrevendo a expressão com os números (todos em SI, peguei os números do enunciado e converti conforme o Passo 1):
\mu = \frac{2\\ \mathrm{N}\times 0,00037\\ \mathrm{m}}{9\\ \mathrm{m}^2 \times 0,45\\ \mathrm{m/s}}.
Calcular o numerador:
2\times 0,00037 = 0,00074.
Calcular o denominador:
9\times 0,45 = 4,05.
Agora dividir:
\mu = \frac{0,00074}{4,05}.
Para dividir, pode-se transformar em notação conveniente: 0,00074 = 7,4\times10^{-4} e 4,05 \approx 4,05. Fazendo a divisão direta obtemos aproximadamente
\mu \approx 1,827\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
Arredondando com razoável número de algarismos (os dados têm duas casas significativas na velocidade e dois na força), usemos duas casas significativas:
\mu \approx 1,83\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Verificação rápida de unidades e plausibilidade (didática e incentivo).
  • Analisando unidades: \dfrac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{m/s}} = \dfrac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}}\cdot\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{m/s}} = \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s}. Está consistente.
  • Comentário de interpretação: o valor encontrado, \mu\approx1,83\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}, é menor que a viscosidade da água ( \sim1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s} à temperatura ambiente), o que indica um fluido mais pouco viscoso (p.ex. um gás ou óleo muito fino). Isso só para intuição — o cálculo está feito com as hipóteses de escoamento laminar e perfil linear (modelo de Couette), que é o modelo apropriado para esse enunciado.
Força e paciência: mandou bem buscando a solução — isso é o tipo de conta que cai na prova e agora você tem o passo a passo para reproduzir.

Resposta

1,83\times10^{-4}\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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