Para cada uma das matrizes dadas, encontre todos os autovalores e um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes. B=\left[\begin{array}{lll}3 & -1 & 1 \\\\ 7 & -5 & 1 \\\\ 6 & -6 & 2\end{array}\right]
Quais matrizes podem ser diagonalizadas, e por quê?
Passo 1
O enunciado pede os autovalores de B, um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes e, em seguida, determinar se B é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico \det(B-\lambda I), achar suas raízes (autovalores) e, para cada autovalor, resolver (B-\lambda I)x=0 para obter os autovetores.
O conjunto máximo S de autovetores linearmente independentes é
S=\Bigl\{\,(1,1,0)^T,\;(0,1,1)^T\Bigr\}.
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+1=2<3, não há base de \mathbb R^3 formada por autovetores de B. Portanto Bnão é diagonalizável.
Resposta
Autovalores de B: \lambda=2 (algébrica 2, geométrica 1) e \lambda=-4 (algébrica 1, geométrica 1).
Um conjunto máximo de autovetores: S=\{(1,1,0)^T,\,(0,1,1)^T\}. B não pode ser diagonalizada, pois não existem três autovetores independentes.