Para cada uma das matrizes dadas, encontre todos os autovalores e um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes.
B=\left[\begin{array}{lll}3 & -1 & 1 \\\\ 7 & -5 & 1 \\\\ 6 & -6 & 2\end{array}\right]
Quais matrizes podem ser diagonalizadas, e por quê?

Passo 1

O enunciado pede os autovalores de B, um conjunto S máximo de autovetores linearmente independentes e, em seguida, determinar se B é diagonalizável. Para isso vamos calcular o polinômio característico \det(B-\lambda I), achar suas raízes (autovalores) e, para cada autovalor, resolver (B-\lambda I)x=0 para obter os autovetores.

Passo 2

O polinômio característico de
B=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1\\\\ 7 & -5 & 1\\\\ 6 & -6 & 2 \end{pmatrix}
é
\det(B-\lambda I) =\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & 1\\\\ 7 & -5-\lambda& 1\\\\ 6 & -6 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo a expansão, chega-se a
\det(B-\lambda I) =-\lambda^3+12\lambda-16,
cuja versão moníca é
\lambda^3-12\lambda+16=0.
Testando \lambda=2 verifica-se que é raiz dupla e o outro fator é \lambda+4. Logo os autovalores são
\lambda_1=2\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \qquad \lambda_2=-4\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=2 resolvemos
(B-2I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 7 & -7 & 1\\\\ 6 & -6 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\x_2\x_3\end{pmatrix} =0.
Da segunda e terceira linhas vem x_3=0. Substituindo na primeira obtemos x_1 - x_2=0, ou seja x_1=x_2. Assim
x=t\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}, \quad t\in\mathbb R,
e a dimensão do espaço próprio é 1.

Passo 4

Para \lambda=-4 resolvemos
(B+4I)x=0 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix} 7 & -1 & 1\\\\ 7 & -1 & 1\\\\ 6 & -6 & 6 \end{pmatrix} x=0.
Deste sistema obtém-se x_2=x_3 e x_1=0, ou seja
x=s\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}, \quad s\in\mathbb R,
e a dimensão do espaço próprio é 1.

Passo 5

O conjunto máximo S de autovetores linearmente independentes é
S=\Bigl\{\,(1,1,0)^T,\;(0,1,1)^T\Bigr\}.
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é 1+1=2<3, não há base de \mathbb R^3 formada por autovetores de B. Portanto B não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores de B: \lambda=2 (algébrica 2, geométrica 1) e \lambda=-4 (algébrica 1, geométrica 1).
Um conjunto máximo de autovetores: S=\{(1,1,0)^T,\,(0,1,1)^T\}. B não pode ser diagonalizada, pois não existem três autovetores independentes.

Exercícios relacionados