1.54 ⋯e Um pedaço retangular de alumínio tem
cm de comprimento e
de largura. (a) Ache a área do retângulo e a incerteza na área. (b) Verifique se a incerteza fracionária na área é igual à soma das incertezas fracionárias no comprimento e na largura. (Este é um resultado geral.)
Passo 1
O enunciado dá um pedaço retangular de alumínio com as medidas (peguei estes números do enunciado):
- comprimento
; - largura
.
O que o problema pede:
(a) Determinar a área do retângulo e a incerteza na área
.
(b) Verificar se a incerteza fracionária na área é igual à soma das incertezas fracionárias
.
(a) Determinar a área do retângulo
(b) Verificar se a incerteza fracionária na área
Passo 2
Cálculo direto da área (passo a passo, sem pular contas):
Calcule
de um jeito simples:
, então
Agora as contas:
logo
Passo 3
Como achar a incerteza
de forma didática:
- Usamos a aproximação linear (primeira ordem) para variações: se
, então a variação diferencial vale
- Interpretamos as incertezas pequenas:
e . Assim a contribuição absoluta de cada medida para é e , e somando (primeira ordem),
(Obs.: esta é a dedução direta a partir da definição de diferencial; outra forma equivalente é tomar logaritmo e diferenciar — mostro isso no próximo passo.)
Agora calcule numericamente:
Somando:
Passo 4
Derivação alternativa (mais geral e elegante) que mostra por que as incertezas fracionárias somam:
- Tome logaritmo de
:
- Diferenciando,
- Interpretando
como e como (válido para incertezas pequenas), obtemos a relação geral:
Agora verificação numérica das frações (contas passo a passo, sem calculadora complicada):
Fazendo divisão aproximada:
.
Soma:
Agora calcule
usando
e
:
Uma forma rápida de ver que isso bate com a soma anterior é usar a relação
que já foi mostrada. Se quiser dividir explicitamente:
o mesmo valor encontrado para a soma das frações (diferenças nos dígitos finais são apenas arredondamento). Portanto a igualdade pedida está verificada.
Passo 5
Arredondamento e forma recomendada de reporte:
- Incertezas costumam ser reportadas com, no máximo, duas casas significativas, frequentemente apenas uma. Aqui
arredonda-se para . - Ao usar
, a área deve ser dada com a mesma casa decimal: .
Então a apresentação final recomendada é
, lembrando que o valor mais preciso obtido nas contas foi
com
.
Resposta
(a)
(recomendado reportar
).
(b) Sim. .
(b) Sim.