1.54 ⋯e Um pedaço retangular de alumínio tem 7,60 \pm 0,01 cm de comprimento e 1,90 \pm 0,01 \mathrm{~cm} de largura. (a) Ache a área do retângulo e a incerteza na área. (b) Verifique se a incerteza fracionária na área é igual à soma das incertezas fracionárias no comprimento e na largura. (Este é um resultado geral.)

Passo 1

O enunciado dá um pedaço retangular de alumínio com as medidas (peguei estes números do enunciado):
  • comprimento L = 7{,}60 \pm 0{,}01\\ \text{cm};
  • largura W = 1{,}90 \pm 0{,}01\\ \text{cm}.
O que o problema pede:
(a) Determinar a área do retângulo A e a incerteza na área \Delta A.
(b) Verificar se a incerteza fracionária na área \dfrac{\Delta A}{A} é igual à soma das incertezas fracionárias \dfrac{\Delta L}{L} + \dfrac{\Delta W}{W}.

Passo 2

Cálculo direto da área (passo a passo, sem pular contas):
A = L\cdot W.
Calcule 7{,}60\cdot1{,}90 de um jeito simples: 1{,}90 = 2{,}00 - 0{,}10, então
7{,}60\cdot1{,}90 = 7{,}60\cdot(2{,}00-0{,}10)=7{,}60\cdot2{,}00 - 7{,}60\cdot0{,}10.
Agora as contas:
7{,}60\cdot2{,}00 = 15{,}20,\qquad 7{,}60\cdot0{,}10 = 0{,}76,
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A = 15{,}20 - 0{,}76 = 14{,}44\\ \text{cm}^2.

Passo 3

Como achar a incerteza \Delta A de forma didática:
  • Usamos a aproximação linear (primeira ordem) para variações: se A=L\cdot W, então a variação diferencial vale
dA = W\,dL + L\,dW.
  • Interpretamos as incertezas pequenas: dL\approx\Delta L e dW\approx\Delta W. Assim a contribuição absoluta de cada medida para \Delta A é W\Delta L e L\Delta W, e somando (primeira ordem),
\Delta A \approx W\Delta L + L\Delta W.
(Obs.: esta é a dedução direta a partir da definição de diferencial; outra forma equivalente é tomar logaritmo e diferenciar — mostro isso no próximo passo.)
Agora calcule numericamente:
W\Delta L = 1{,}90\cdot0{,}01 = 0{,}019\\ \text{cm}^2,
L\Delta W = 7{,}60\cdot0{,}01 = 0{,}076\\ \text{cm}^2.
Somando:
\Delta A \approx 0{,}019 + 0{,}076 = 0{,}095\\ \text{cm}^2.

Passo 4

Derivação alternativa (mais geral e elegante) que mostra por que as incertezas fracionárias somam:
  • Tome logaritmo de A=L\cdot W:
\ln A = \ln L + \ln W.
  • Diferenciando,
\frac{dA}{A} = \frac{dL}{L} + \frac{dW}{W}.
  • Interpretando dA/A como \Delta A / A e dL/L como \Delta L / L (válido para incertezas pequenas), obtemos a relação geral:
\frac{\Delta A}{A} \approx \frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta W}{W}.
Agora verificação numérica das frações (contas passo a passo, sem calculadora complicada):
\frac{\Delta L}{L} = \frac{0{,}01}{7{,}60}.
Fazendo divisão aproximada: 0{,}01/7{,}60 = 1/760 \approx 0{,}0013158.
\frac{\Delta W}{W} = \frac{0{,}01}{1{,}90} = 1/190 \approx 0{,}0052632.
Soma:
\frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta W}{W} \approx 0{,}0013158 + 0{,}0052632 = 0{,}0065790.
Agora calcule \dfrac{\Delta A}{A} usando \Delta A=0{,}095 e A=14{,}44:
\frac{\Delta A}{A} = \frac{0{,}095}{14{,}44}.
Uma forma rápida de ver que isso bate com a soma anterior é usar a relação \Delta A = A\left(\dfrac{\Delta L}{L}+\dfrac{\Delta W}{W}\right) que já foi mostrada. Se quiser dividir explicitamente:
\frac{0{,}095}{14{,}44}\approx 0{,}0065790,
o mesmo valor encontrado para a soma das frações (diferenças nos dígitos finais são apenas arredondamento). Portanto a igualdade pedida está verificada.

Passo 5

Arredondamento e forma recomendada de reporte:
  • Incertezas costumam ser reportadas com, no máximo, duas casas significativas, frequentemente apenas uma. Aqui \Delta A=0{,}095\\ \text{cm}^2 arredonda-se para 0{,}1\\ \text{cm}^2.
  • Ao usar \Delta A=0{,}1\\ \text{cm}^2, a área deve ser dada com a mesma casa decimal: A=14{,}4\\ \text{cm}^2.
Então a apresentação final recomendada é A=(14{,}4 \pm 0{,}1)\\ \text{cm}^2, lembrando que o valor mais preciso obtido nas contas foi A=14{,}44\\ \text{cm}^2 com \Delta A\approx0{,}095\\ \text{cm}^2.

Resposta

(a) A = 14{,}44 \pm 0{,}095\\ \text{cm}^2 (recomendado reportar A = 14{,}4 \pm 0{,}1\\ \text{cm}^2).
(b) Sim. \dfrac{\Delta A}{A} = \dfrac{\Delta L}{L} + \dfrac{\Delta W}{W} \approx 0{,}006579.

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