1.55 *** À medida que você come um pacote de biscoitos de chocolate, observa que cada biscoito é um disco circular com um diâmetro de 8,50 \pm 0,02 \mathrm{~cm} e espessura de 0,050 \pm 0,005 \mathrm{~cm}. (a) Ache o volume médio de um biscoito e a incerteza no volume. (b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura e a incerteza nessa razão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
  • Diâmetro do biscoito: \,d = 8{,}50 \pm 0{,}02\\ \mathrm{cm}.
  • Espessura do biscoito: \,t = 0{,}050 \pm 0{,}005\\ \mathrm{cm}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) O volume médio de um biscoito e a incerteza nesse volume.
(b) A razão entre o diâmetro e a espessura e a incerteza nessa razão.
Observação: cada biscoito é um disco cilíndrico (ou “fatia de cilindro”) de diâmetro d e espessura t. A resolução começa agora.

Passo 2

Fórmula do volume de um disco cilíndrico e cálculo do volume médio.
A fórmula do volume de um cilindro de raio r e altura h é
V = \pi r^2 h.
Aqui o raio r é metade do diâmetro, r = d/2, e a “altura” é a espessura t. Substituindo,
V = \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 t = \frac{\pi}{4}\, d^2 t.
Agora calculo o volume médio usando os valores médios dados:
r = \frac{d}{2} = \frac{8{,}50}{2} = 4{,}25\\ \mathrm{cm}.
V_\text{médio} = \pi r^2 t = \pi (4{,}25)^2(0{,}050).é
Calculo passo a passo:
(4{,}25)^2 = 18{,}0625,
\pi \cdot 18{,}0625 \approx 56{,}745017305\\ (\text{usar }\pi\approx3{,}14159),
V_\text{médio} \approx 56{,}745017305 \times 0{,}050 = 2{,}837250865\\ \mathrm{cm^3}.é
Arredondando o valor médio com precisão compatível (vamos aguardar a regra de arredondamento final após achar a incerteza), por enquanto temos
V_\text{médio} \approx 2{,}8373\\ \mathrm{cm^3}.é

Passo 3

Como calcular a incerteza do volume: método e fórmula.
Quando uma quantidade depende de várias medidas incertas (aqui d e t), a forma correta de propagar incertezas, assumindo erros independentes e pequenos, é usar aproximação linear (propagação por derivadas parciais). Para uma função \,V(d,t), a incerteza combinada \Delta V é dada por
\Delta V = \sqrt{\left(\frac{\partial V}{\partial d}\Delta d\right)^2 + \left(\frac{\partial V}{\partial t}\Delta t\right)^2 }.
Vamos aplicar isso a V = \dfrac{\pi}{4}\, d^2 t.
Calculo das derivadas parciais:
\frac{\partial V}{\partial d} = \frac{\pi}{4}\cdot 2 d \cdot t = \frac{\pi}{2}\, d t,
\frac{\partial V}{\partial t} = \frac{\pi}{4}\, d^2.
Substituindo na fórmula da incerteza:
\Delta V = \sqrt{\left(\frac{\pi}{2} d t\,\Delta d\right)^2 + \left(\frac{\pi}{4} d^2 \,\Delta t\right)^2 }.
Uma forma equivalente, prática e comum (útil na prova) é trabalhar com incertezas relativas quando a função é produto e potências: para
V \propto d^2 t
vale a relação aproximada
\frac{\Delta V}{V} = \sqrt{\left(2\frac{\Delta d}{d}\right)^2 + \left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2 }.
Explico por que: potência d^2 contribui um fator 2 \Delta d/d na incerteza relativa, e t contribui \Delta t/t; como são independentes, somam-se em quadratura.

Passo 4

Aplicando a fórmula relativa numericamente para \Delta V.
Primeiro calculo as incertezas relativas individuais:
\frac{\Delta d}{d} = \frac{0{,}02}{8{,}50} \approx 0{,}00235294,
\frac{\Delta t}{t} = \frac{0{,}005}{0{,}050} = 0{,}10.
Agora
2\frac{\Delta d}{d} = 2 \times 0{,}00235294 \approx 0{,}00470588.
Calculando a incerteza relativa combinada:
\frac{\Delta V}{V} = \sqrt{(0{,}00470588)^2 + (0{,}10)^2} = \sqrt{0{,}00002215 + 0{,}01} \approx \sqrt{0{,}01002215} \approx 0{,}1001107.
Portanto a incerteza absoluta do volume é
\Delta V = V_\text{médio}\times \frac{\Delta V}{V} \approx 2{,}837250865 \times 0{,}1001107 \approx 0{,}28404\\ \mathrm{cm^3}.é
Discussão sobre arredondamento: incertezas geralmente são reportadas com uma ou duas cifras significativas. Aqui \Delta V \approx 0{,}284 tem três cifras; é razoável manter duas cifras significativas para a incerteza: \Delta V \approx 0{,}28\\ \mathrm{cm^3}. Assim o valor do volume médio deve ser arredondado à mesma casa decimal da incerteza: uma casa decimal após a vírgula em \Delta V (ou seja, centésimos), então reportar V = 2{,}84\\ \mathrm{cm^3} (porque 2{,}8373 arredonda para 2{,}84).
Portanto, resultado final do item (a):
V = 2{,}84 \pm 0{,}28\\ \mathrm{cm^3}.

Passo 5

Cálculo da razão R = d/t e do seu erro: fórmula e aplicação.
A razão pedida é
R = \frac{d}{t}.
Cálculo do valor médio:
R_\text{médio} = \frac{8{,}50}{0{,}050} = 170.é
Para propagar incerteza em uma razão (quociente), a regra prática — derivada também pelo método das derivadas parciais — é que as incertezas relativas somam em quadratura:
\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{\left(\frac{\Delta d}{d}\right)^2 + \left(\frac{\Delta t}{t}\right)^2 }.
Usando os valores relativos já calculados:
\frac{\Delta d}{d} \approx 0{,}00235294,\qquad \frac{\Delta t}{t} = 0{,}10.
\frac{\Delta R}{R} = \sqrt{(0{,}00235294)^2 + (0{,}10)^2} = \sqrt{0{,}000005535 + 0{,}01} \approx \sqrt{0{,}010005535} \approx 0{,}1000277.
Assim a incerteza absoluta:
\Delta R = R_\text{médio}\times \frac{\Delta R}{R} \approx 170 \times 0{,}1000277 \approx 17{,}0047.é
Arredondando a incerteza para duas cifras significativas dá \Delta R \approx 17. Então deve-se dar R com a mesma casa decimal: aqui a incerteza é inteira, logo
R = 170 \pm 17\\ (\text{sem unidade}).

Resposta

V = 2{,}84 \pm 0{,}28\\ \mathrm{cm^3}\n
\dfrac{d}{t} = 170 \pm 17

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