1.55 *** À medida que você come um pacote de biscoitos de chocolate, observa que cada biscoito é um disco circular com um diâmetro de
e espessura de
. (a) Ache o volume médio de um biscoito e a incerteza no volume. (b) Ache a razão entre o diâmetro e a espessura e a incerteza nessa razão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Diâmetro do biscoito:
- Espessura do biscoito:
O enunciado pede duas coisas:
(a) O volume médio de um biscoito e a incerteza nesse volume.
(b) A razão entre o diâmetro e a espessura e a incerteza nessa razão.
(a) O volume médio de um biscoito e a incerteza nesse volume.
(b) A razão entre o diâmetro e a espessura e a incerteza nessa razão.
Observação: cada biscoito é um disco cilíndrico (ou “fatia de cilindro”) de diâmetro
e espessura
. A resolução começa agora.
Passo 2
Fórmula do volume de um disco cilíndrico e cálculo do volume médio.
A fórmula do volume de um cilindro de raio
e altura
é
Aqui o raio
é metade do diâmetro,
, e a “altura” é a espessura
. Substituindo,
Agora calculo o volume médio usando os valores médios dados:
Calculo passo a passo:
Arredondando o valor médio com precisão compatível (vamos aguardar a regra de arredondamento final após achar a incerteza), por enquanto temos
Passo 3
Como calcular a incerteza do volume: método e fórmula.
Quando uma quantidade depende de várias medidas incertas (aqui
e
), a forma correta de propagar incertezas, assumindo erros independentes e pequenos, é usar aproximação linear (propagação por derivadas parciais). Para uma função
, a incerteza combinada
é dada por
Vamos aplicar isso a
.
Calculo das derivadas parciais:
Substituindo na fórmula da incerteza:
Uma forma equivalente, prática e comum (útil na prova) é trabalhar com incertezas relativas quando a função é produto e potências: para
vale a relação aproximada
Explico por que: potência
contribui um fator
na incerteza relativa, e
contribui
; como são independentes, somam-se em quadratura.
Passo 4
Aplicando a fórmula relativa numericamente para
.
Primeiro calculo as incertezas relativas individuais:
Agora
Calculando a incerteza relativa combinada:
Portanto a incerteza absoluta do volume é
Discussão sobre arredondamento: incertezas geralmente são reportadas com uma ou duas cifras significativas. Aqui
tem três cifras; é razoável manter duas cifras significativas para a incerteza:
. Assim o valor do volume médio deve ser arredondado à mesma casa decimal da incerteza: uma casa decimal após a vírgula em
(ou seja, centésimos), então reportar
(porque
arredonda para
).
Portanto, resultado final do item (a):
Passo 5
Cálculo da razão
e do seu erro: fórmula e aplicação.
A razão pedida é
Cálculo do valor médio:
Para propagar incerteza em uma razão (quociente), a regra prática — derivada também pelo método das derivadas parciais — é que as incertezas relativas somam em quadratura:
Usando os valores relativos já calculados:
Assim a incerteza absoluta:
Arredondando a incerteza para duas cifras significativas dá
. Então deve-se dar
com a mesma casa decimal: aqui a incerteza é inteira, logo