55-62 Determine as derivadas parciais indicadas.
u=ln (x+2 y^2+3 z^3) ; partial^3 upartial x partial y partial z

Passo 1

O enunciado dá
u = lnl(x + 2y^2 + 3z^3r)
e pede partial^3upartial x,partial y,partial z.
Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia em três etapas: primeiro derivar em x, depois em y e por fim em z.

Passo 2

Calcular partial upartial x usando a regra da cadeia:
partial upartial x =1x + 2y^2 + 3z^3cdotpartialpartial xl(x + 2y^2 + 3z^3r) =1x + 2y^2 + 3z^3

Passo 3

Calcular partial^2upartial x,partial y derivando partial upartial x em y:
partial^2upartial x,partial y =partialpartial y!l(1x + 2y^2 + 3z^3r) =-1(x + 2y^2 + 3z^3)^2cdotpartialpartial yl(x + 2y^2 + 3z^3r) =-4y(x + 2y^2 + 3z^3)^2

Passo 4

Calcular partial^3upartial x,partial y,partial z derivando o resultado anterior em z:
partial^3upartial x,partial y,partial z =partialpartial z!l(-4y(x + 2y^2 + 3z^3)^2r) =-4ycdot(-2)1(x + 2y^2 + 3z^3)^3cdotpartialpartial zl(x + 2y^2 + 3z^3r) =72,y,z^2(x + 2y^2 + 3z^3)^3

Resposta

boxedpartial^3upartial x,partial y,partial z =72,y,z^2l(x + 2y^2 + 3z^3r)^3

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