55-62 Determine as derivadas parciais indicadas.
z=ln sen(x-y) ; partial^3 zpartial y partial x^2

Passo 1

O enunciado define
z = lnsen(x - y)
e pede
partial^3zpartial y,partial x^2
Vamos aplicar a regra da cadeia em três etapas: primeiro calcular
partial zpartial x, depois
partial^2zpartial x^2, e por fim
partial^3zpartial y,partial x^2.

Passo 2

Calculemos
partial zpartial x = 1sen(x - y);partialpartial xl[sen(x - y)r] = cos(x - y)sin(x - y) = cot(x - y)
Em seguida,
partial^2zpartial x^2 = partialpartial xl[cot(x - y)r] = -csc^2(x - y)

Passo 3

Agora computamos
partial^3zpartial y,partial x^2 = partialpartial yl[-csc^2(x - y)r]
Defina u = x - y. Então
ddul[csc^2ur] = -2,csc^2u;cot u, dudy = -1,
portanto
partialpartial yl[-csc^2ur] = -l(-2,csc^2u;cot ur)cdot(-1) = -2,csc^2(x - y),cot(x - y)

Resposta

partial^3zpartial y,partial x^2 = -2,csc^2(x - y),cot(x - y)

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