Determine as integrais abaixo:
integral 1x^2 raizx^2+4 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 1x^2raizx^2+4,dx
O conteúdo é integração de funções envolvendo raizx^2+a^2. Uma técnica clássica é a substituição trigonométrica do tipo x=atantheta.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = 2tantheta, dx = 2sec^2theta,dtheta, raizx^2+4 = raiz4tan^2theta+4 = 2sectheta

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 1x^2raizx^2+4,dx = integral 1(2tantheta)^2,l(2secthetar);l(2sec^2theta,dthetar)
Isso dá
integral 2sec^2theta4tan^2theta;2sectheta,dtheta = integral 14,secthetatan^2theta,dtheta = 14integral costhetasin^2theta,dtheta = 14integral cottheta,csctheta,dtheta

Passo 4

Sabemos que
ddthetal(cscthetar) = -csctheta,cottheta,
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integral cottheta,csctheta,dtheta = -csctheta + C
Portanto a integral fica
14l(-cscthetar) + C = -14csctheta + C

Passo 5

Volta à variável x: da substituição x=2tantheta tiramos
sintheta = xraizx^2+4 Longrightarrow csctheta = raizx^2+4x
Assim o resultado é
-14,raizx^2+4x + C

Resposta

integral 1x^2raizx^2+4,dx = -raizx^2+44,x + C

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