Determine a derivada direcional de f no ponto dado e a direção e sentido indicada pelo ângulo theta.
f(x, y)=raiz5 x-4 y, (4,1), theta=-pi / 6

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=raiz5x-4y
e pede a derivada direcional de f no ponto (4,1) na direção cujo ângulo faz theta=-pi/6. Para isso vamos usar a fórmula
D uf(p)=nabla f(p)cdot u,
onde u é o vetor unitário que aponta na direção theta.

Passo 2

Calcular primeiro o gradiente nabla f. Como f(x,y)=(5x-4y)^1/2, temos
partial fpartial x =12(5x-4y)^-1/2cdot5 =52raiz5x-4y,
partial fpartial y =12(5x-4y)^-1/2cdot(-4) =-42raiz5x-4y =-2raiz5x-4y
No ponto (4,1) temos 5cdot4-4cdot1=16 e raiz16=4, logo
nabla f(4,1) =l(52cdot4,,-24r) =l(58,,-12r)

Passo 3

O vetor unitário na direção theta=-pi/6 é
u =(costheta,;sintheta) =l(cos(-tfracpi6),;sin(-tfracpi6)r) =l(tfracraiz32,,-tfrac12r)

Passo 4

Agora aplicamos
D uf(4,1) =nabla f(4,1)cdot u =58cdotraiz32 +l(-12r)cdotl(-12r) =5raiz316+14 =5raiz3+416

Resposta

D uf(4,1) =5raiz3+416

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