- Um monge vai meditar durante o final de semana em um monastério no topo de uma montanha. Ele inicia a subida no sábado às 6:00 horas e a descida na segunda, no mesmo horário. Num determinado instante, durante a descida, ele percebe que passou por aquele ponto durante a subida, naquele exato horário. Explique este fato.
Passo 1
O enunciado diz que um monge sobe de
h do sábado até o topo da montanha e depois desce de
h da segunda-feira, e que em algum instante da descida ele percebeu que, naquele exato horário, já havia passado por aquele mesmo ponto na subida. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano) aplicado a funções contínuas de altitude em função do tempo.
Passo 2
Vamos modelar a altitude do monge no percurso por duas funções contínuas definidas num mesmo intervalo de tempo
, com
h:
-
: altitude no instante contando a partir das h do sábado, assumindo que após chegar ao topo ele fica lá até segunda-feira. -
: altitude no instante contando da mesma h do sábado, supondo que antes de iniciar a descida (que começa apenas na segunda) ele permanece parado no topo.
Dessa forma, ambas as funções estão definidas e são contínuas em todo
.
Passo 3
Definimos a função
Observamos que
onde
é a altura do topo, e
Como
é contínua e
e
têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano existe um instante
tal que
ou seja,
Passo 4
A igualdade
significa exatamente que, no mesmo horário
, a altitude do monge na descida coincide com a altitude que ele tinha na subida naquele mesmo horário. É por isso que ele reconheceu ter passado por aquele ponto no exato mesmo horário.
Resposta
O fato se explica pelo Teorema do Valor Intermediário: ao comparar as funções contínuas de altitude na subida e na descida, sua diferença muda de sinal entre o início e o fim do percurso, garantindo a existência de um instante em que as duas trajetórias têm exatamente a mesma altitude no mesmo horário.