1. Um monge vai meditar durante o final de semana em um monastério no topo de uma montanha. Ele inicia a subida no sábado às 6:00 horas e a descida na segunda, no mesmo horário. Num determinado instante, durante a descida, ele percebe que passou por aquele ponto durante a subida, naquele exato horário. Explique este fato.

Passo 1

O enunciado diz que um monge sobe de 6 h do sábado até o topo da montanha e depois desce de 6 h da segunda-feira, e que em algum instante da descida ele percebeu que, naquele exato horário, já havia passado por aquele mesmo ponto na subida. O conteúdo que vamos usar é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano) aplicado a funções contínuas de altitude em função do tempo.

Passo 2

Vamos modelar a altitude do monge no percurso por duas funções contínuas definidas num mesmo intervalo de tempo [0,T], com T=48 h:
  • A(t): altitude no instante t contando a partir das 6 h do sábado, assumindo que após chegar ao topo ele fica lá até segunda-feira.
  • D(t): altitude no instante t contando da mesma 6 h do sábado, supondo que antes de iniciar a descida (que começa apenas na segunda) ele permanece parado no topo.
Dessa forma, ambas as funções estão definidas e são contínuas em todo [0,T].

Passo 3

Definimos a função
f(t)=A(t)-D(t)
Observamos que
f(0)=A(0)-D(0)=0 - H = -H < 0,
onde H é a altura do topo, e
f(T)=A(T)-D(T)=H - 0 = H > 0
Como f é contínua e f(0) e f(T) têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano existe um instante t^*in(0,T) tal que
f(t^*)=0,
ou seja,
A(t^*)=D(t^*)

Passo 4

A igualdade A(t^*)=D(t^*) significa exatamente que, no mesmo horário t^*, a altitude do monge na descida coincide com a altitude que ele tinha na subida naquele mesmo horário. É por isso que ele reconheceu ter passado por aquele ponto no exato mesmo horário.

Resposta

O fato se explica pelo Teorema do Valor Intermediário: ao comparar as funções contínuas de altitude na subida e na descida, sua diferença muda de sinal entre o início e o fim do percurso, garantindo a existência de um instante em que as duas trajetórias têm exatamente a mesma altitude no mesmo horário.

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