55-62 Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y)=e^x y^2 ; fx x y

Passo 1

O enunciado pede a derivada parcial de terceira ordem
,fxxy
para a função
f(x,y)=e^x y^2
Vamos usar as regras de derivada de exponencial composta e produto, aplicando as derivadas parciais em ordem: primeiro em x, de novo em x e por fim em y.

Passo 2

Calcular a primeira derivada parcial em x:
fx = partialpartial x e^x y^2
Como y é tratado como constante, usando a regra da cadeia:
fx = y^2,e^x y^2

Passo 3

Agora derivamos novamente em x para obter fxx:
fxx = partialpartial xl(y^2,e^x y^2r)
Aqui y^2 é constante, então
fxx = y^2 cdot l(y^2,e^x y^2r) = y^4,e^x y^2

Passo 4

Finalmente, derivamos fxx em y para obter fxxy:
fxxy = partialpartial yl(y^4,e^x y^2r)
Aplicando a regra do produto e depois a cadeia na exponencial:
partialpartial y(y^4)=4y^3, partialpartial ye^x y^2=e^x y^2cdot(2xy)
Logo,
fxxy =4y^3,e^x y^2 + y^4,(2xy),e^x y^2 = e^x y^2l(4y^3+2x y^5r)

Resposta

fxxy(x,y)=e^x y^2l(4y^3+2x y^5r)

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