Mostre que lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2=0, utilizando
(a) A definição de limite (varepsilon-de<a)
(c) A Proposição (2)
(b) O Teorema do Confronto (1)

Passo 1

Beleza, vamos encarar esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que o limite da função 2xy^2x^2+y^2 quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual a zero. Para isso, vamos usar três métodos diferentes:
(a) a definição de limite usando (varepsilon-de<a),
(c) a Proposição (2),
(b) o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).
Vamos passo a passo para não ficar complicado!

Passo 2

Usando a definição de limite (varepsilon-de<a)
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite usando varepsilon e de<a. Queremos provar que para todo varepsilon > 0, existe um de<a > 0 tal que se raizx^2 + y^2 < de<a, então |2xy^2x^2+y^2| < varepsilon.
Vamos simplificar a expressão:
|2xy^2x^2+y^2| = 2|x|y^2x^2+y^2 <= 2|x|
Como raizx^2 + y^2 < de<a, temos que |x| < de<a.
Então, 2|x| < 2de<a.
Para garantir que 2de<a < varepsilon, basta escolher de<a = varepsilon2. Assim, se raizx^2 + y^2 < de<a, então |2xy^2x^2+y^2| < varepsilon.

Passo 3

Usando a Proposição (2)
A Proposição (2) geralmente se refere a uma propriedade que relaciona limites em múltiplas direções ou algo semelhante. Nesse caso, podemos considerar que se a função é limitada por algo que tende a zero, então o limite também tende a zero.
Vamos observar que:
|2xy^2x^2+y^2| <= 2|x| cdot y^2x^2+y^2 <= 2|x|
Como |x| to 0 quando (x, y) to (0,0), então 2|x| to 0. Portanto, pela Proposição (2), o limite da função também é zero.

Passo 4

Usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem)
O Squeeze Theorem diz que se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então ela também tem esse limite.
Vamos encontrar funções que “prendem” nossa função:
Sabemos que |2xy^2x^2+y^2| <= 2|x|
E também sabemos que 2|x| <= 2raizx^2 + y^2
Então temos:
0 <= |2xy^2x^2+y^2| <= 2raizx^2 + y^2
Sabendo que raizx^2 + y^2 to 0 quando (x, y) to (0,0), pelo Squeeze Theorem, nosso limite também deve ser zero.

Resposta

Portanto, lim (x, y) (0,0) 2 x y^2x^2+y^2 = 0.

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