Determine y^prime nos casos abaixo.
cos (x-y)=x e^y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
cos(x - y) = x e^y
e pede y'=dydx. O conteúdo é diferenciação implícita, em que aplicaremos a regra da cadeia à esquerda e a regra do produto à direita.

Passo 2

Diferenciando os dois lados em relação a x:
à esquerda, ddxl[cos(x-y)r] = -sin(x-y)cdotddx(x-y) = -sin(x-y),(1 - y').
à direita, ddxl[x e^yr] = 1cdot e^y + xcdot e^y,y' = e^y + x e^y y'.
Logo,
-sin(x-y),(1 - y') = e^y + x e^y y'

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e coletando os termos com y':
-sin(x-y) + sin(x-y),y' = e^y + x e^y,y'
Agora agrupamos os termos com y' num mesmo lado:
sin(x-y),y' - x e^y,y' = e^y + sin(x-y)
Fatorando y':
y'l[sin(x-y) - x e^yr] = e^y + sin(x-y)

Passo 4

Isolando y' e dividindo pelo coeficiente:
y' = e^y + sin(x-y)sin(x-y) - x e^y

Resposta

y' = e^y + sin(x-y)sin(x-y) - x e^y

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