55 Entre 5 garotas e 3 rapazes serão escolhidas 4 pessoas, aleatoriamente, para formar uma comissão de representantes de classe. Calcule a probabilidade de serem escolhidos 3 garotas e 1 rapaz. (Resolva esse problema de duas maneiras: primeiro, aplicando a definição de probabilidade; depois, aplicando o teorema da multiplicação de probabilidades.)
Passo 1
O enunciado diz que temos
garotas e
rapazes, totalizando
pessoas, e vamos escolher
delas para formar a comissão. Queremos a probabilidade de sair exatamente
garotas e
rapaz. Para isso vamos usar dois métodos: 1) definição de probabilidade via contagem de combinações e 2) teorema da multiplicação de probabilidades considerando seleção sem reposição.
Passo 2
Pela definição de probabilidade, calculamos o número total de maneiras de escolher
pessoas dentre
, e o número de maneiras favoráveis (escolher
garotas dentre
e
rapaz dentre
).
O total de escolhas é
O total de escolhas é
O total favorável é
Portanto a probabilidade é
Passo 3
Pelo teorema da multiplicação, imaginemos que escolhemos as
pessoas em sequência, sem reposição. Num pedido fixo (por exemplo, G–G–G–R), a probabilidade de sair garota, garota, garota e depois rapaz é
Mas a sequência pode ter o rapaz em qualquer uma das
posições, e há
formas de intercalar esse rapaz entre as
garotas. Logo
coincidindo com o resultado anterior.
Resposta
A probabilidade de serem escolhidos exatamente
garotas e
rapaz é
.