55 Entre 5 garotas e 3 rapazes serão escolhidas 4 pessoas, aleatoriamente, para formar uma comissão de representantes de classe. Calcule a probabilidade de serem escolhidos 3 garotas e 1 rapaz. (Resolva esse problema de duas maneiras: primeiro, aplicando a definição de probabilidade; depois, aplicando o teorema da multiplicação de probabilidades.)

Passo 1

O enunciado diz que temos 5 garotas e 3 rapazes, totalizando 8 pessoas, e vamos escolher 4 delas para formar a comissão. Queremos a probabilidade de sair exatamente 3 garotas e 1 rapaz. Para isso vamos usar dois métodos: 1) definição de probabilidade via contagem de combinações e 2) teorema da multiplicação de probabilidades considerando seleção sem reposição.

Passo 2

Pela definição de probabilidade, calculamos o número total de maneiras de escolher 4 pessoas dentre 8, e o número de maneiras favoráveis (escolher 3 garotas dentre 5 e 1 rapaz dentre 3).
O total de escolhas é
\binom{8}{4} = 70.
O total favorável é
\binom{5}{3}\times \binom{3}{1} = 10 \times 3 = 30.
Portanto a probabilidade é
P = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}.

Passo 3

Pelo teorema da multiplicação, imaginemos que escolhemos as 4 pessoas em sequência, sem reposição. Num pedido fixo (por exemplo, G–G–G–R), a probabilidade de sair garota, garota, garota e depois rapaz é
\frac{5}{8} \times \frac{4}{7} \times \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{5\cdot4\cdot3\cdot3}{8\cdot7\cdot6\cdot5} = \frac{180}{1680} = \frac{3}{28}.
Mas a sequência pode ter o rapaz em qualquer uma das 4 posições, e há \binom{4}{1}=4 formas de intercalar esse rapaz entre as 3 garotas. Logo
P = 4 \times \frac{3}{28} = \frac{12}{28} = \frac{3}{7},
coincidindo com o resultado anterior.

Resposta

A probabilidade de serem escolhidos exatamente 3 garotas e 1 rapaz é \tfrac{3}{7}.

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