55-(ITA) Em um balão fechado e sob temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}(\mathrm{~g}) está em equilíbrio com \mathrm{NO}_{2}(\mathrm{~g}).
A pressão total exercida pelos gases dentro do balão é igual a 1,0 \mathrm{~atm} e, nestas condições, \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}(\mathrm{~g}) encontra-se 20% dissociado.
a. Determine o valor da constante de equilíbrio para a reação de dissociação do \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}(\mathrm{~g}). Mostre os cálculos realizados.
b. Para a temperatura de 27^{\circ} \mathrm{C} e pressão total dos gases dentro do balão igual a 0,10 \mathrm{~atm}, determine o grau de dissociação do \mathrm{N}_{2} \mathrm{O}_{4}(\mathrm{~g}). Mostre os cálculos realizados.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: 27^\circ\mathrm{C} (a mesma nas duas partes).
    • Reação de equilíbrio: \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4(\mathrm{g}) \rightleftharpoons 2\,\mathrm{NO}_2(\mathrm{g}).
    • Para a parte (a): pressão total dos gases P_{\text{tot}}=1{,}0\\ \mathrm{atm} e grau de dissociação de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 igual a 20\%.
    • Para a parte (b): pressão total dos gases P_{\text{tot}}=0{,}10\\ \mathrm{atm}; a constante de equilíbrio é a mesma obtida em (a) (mesma temperatura).
  • O que se pede:
    • (a) Determinar o valor da constante de equilíbrio (no sistema gasoso) para a dissociação de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4.
    • (b) Com essa constante e P_{\text{tot}}=0{,}10\\ \mathrm{atm}, determinar o novo grau de dissociação de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4.

Passo 2

Definimos variáveis e montamos um esquema simples de equilíbrio (método padrão de grau de dissociação).
  • Seja \alpha o grau de dissociação (fração das mols de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 que se dissociam).
  • Para facilitar as contas, suponho que inicialmente haja 1 mol de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 (qualquer valor inicial funciona porque usamos frações).
  • Mudanças ao atingir o equilíbrio:
    • mols de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 em equilíbrio: 1-\alpha.
    • mols de \mathrm{NO}_2 em equilíbrio: 2\alpha (cada mol dissociado gera 2 mols de NO _2).
  • Número total de mols em equilíbrio: n_{\text{tot}} = (1-\alpha) + 2\alpha = 1+\alpha.
Aqui eu só defini as quantidades no equilíbrio; a resolução numérica começa no passo seguinte.

Passo 3

Escrevemos as frações molares e as pressões parciais (fundamental para K em gases).
  • Fração molar de \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4: y_{\mathrm{N_2O_4}} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha}.
  • Fração molar de \mathrm{NO_2}: y_{\mathrm{NO_2}} = \frac{2\alpha}{1+\alpha}.
  • Pressões parciais (lei dos gases perfeitos em mistura: P_i = y_i P_{\text{tot}}): P_{\mathrm{N_2O_4}} = \frac{1-\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}}, \qquad P_{\mathrm{NO_2}} = \frac{2\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}}.
Expliquei o que cada símbolo significa: \alpha (grau de dissociação), y_i (fração molar), P_{\text{tot}} (pressão total).

Passo 4

Escrevemos a expressão da constante de equilíbrio em termos de pressões (K_p) e substituímos as pressões parciais.
  • Para a reação \mathrm{N}_2\mathrm{O}_4 \rightleftharpoons 2\,\mathrm{NO}_2, a constante em termos de pressões é K_p = \frac{(P_{\mathrm{NO_2}})^2}{P_{\mathrm{N_2O_4}}}.
  • Substituindo as expressões do passo anterior: K_p = \frac{\left(\dfrac{2\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}}\right)^2}{\dfrac{1-\alpha}{1+\alpha}\,P_{\text{tot}}} = \frac{4\alpha^2\,P_{\text{tot}}^2/(1+\alpha)^2}{(1-\alpha)\,P_{\text{tot}}/(1+\alpha)}.
  • Simplificando a fração (cancelei um fator P_{\text{tot}} e um fator 1+\alpha): K_p = \frac{4\alpha^2\,P_{\text{tot}}}{1-\alpha^2}.
Esta fórmula é muito útil: relaciona K_p com o grau de dissociação \alpha e a pressão total P_{\text{tot}}.

Passo 5

Parte (a): cálculo numérico de K_p usando \alpha=20\%=0{,}20 e P_{\text{tot}}=1{,}0\\ \mathrm{atm}.
  • Substituindo em \displaystyle K_p=\frac{4\alpha^2P_{\text{tot}}}{1-\alpha^2}: \alpha = 0{,}20,\qquad P_{\text{tot}}=1{,}0
K_p = \frac{4\,(0{,}20)^2\,(1{,}0)}{1-(0{,}20)^2}.
  • Calculando passo a passo: (0{,}20)^2 = 0{,}04, \quad 4\times 0{,}04 = 0{,}16, \quad 1 - 0{,}04 = 0{,}96.
K_p = \frac{0{,}16}{0{,}96} = \frac{16}{96} = \frac{1}{6}\approx 0{,}1666667\\ \mathrm{atm}.
  • Resultado: \displaystyle K_p=\frac{1}{6}\approx 0{,}167\\ \mathrm{atm}.
Observação: a unidade aparece porque K_p tem dimensão de pressão para esta reação (dois produtos sobre um reagente → dimensão de pressão).

Passo 6

Parte (b): usar o K_p obtido (mesma temperatura) e P_{\text{tot}}=0{,}10\\ \mathrm{atm} para encontrar \alpha.
  • Começamos da mesma fórmula: K_p = \frac{4\alpha^2 P_{\text{tot}}}{1-\alpha^2}.
  • Isolando \alpha^2: K_p(1-\alpha^2) = 4\alpha^2 P_{\text{tot}}
K_p - K_p\alpha^2 = 4P_{\text{tot}}\alpha^2
K_p = \alpha^2 (K_p + 4P_{\text{tot}})
\alpha^2 = \frac{K_p}{K_p + 4P_{\text{tot}}}.
  • Esta fórmula direta evita resolver uma equação quadrática complicada e é muito prática.

Passo 7

Substituímos os valores numéricos na fórmula obtida e calculamos \alpha.
  • Usando \displaystyle K_p=\frac{1}{6} (resultado do passo 5) e P_{\text{tot}}=0{,}10\\ \mathrm{atm}=\dfrac{1}{10}: K_p + 4P_{\text{tot}} = \frac{1}{6} + 4\left(\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{6} + \frac{2}{5}.
  • Colocando no mesmo denominador ( 30): \frac{1}{6} = \frac{5}{30},\qquad \frac{2}{5} = \frac{12}{30},
K_p + 4P_{\text{tot}} = \frac{5}{30} + \frac{12}{30} = \frac{17}{30}.
  • Então \alpha^2 = \frac{K_p}{K_p + 4P_{\text{tot}}} = \frac{\dfrac{1}{6}}{\dfrac{17}{30}} = \dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{30}{17} = \dfrac{5}{17}.
  • Assim \alpha = \sqrt{\frac{5}{17}} \approx \sqrt{0{,}29411765}\approx 0{,}5423.
  • Em porcentagem: \alpha \times 100\% \approx 54{,}23\%.

Passo 8

Pequena checagem qualitativa e interpretação (rápida, para te tranquilizar):
  • Antes: a pressão era maior ( 1{,}0\\ \mathrm{atm}) e \alpha=20\%.
  • Agora: a pressão é menor ( 0{,}10\\ \mathrm{atm}); para reações que aumentam o número de mols (aqui 1 → 2), reduzir a pressão favorece a dissociação → \alpha aumenta. Encontramos \alpha\approx 54{,}2\%, o que faz sentido físico.

Resposta

(a) K_p=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}167\\ \mathrm{atm}\n(b) \alpha=\sqrt{\dfrac{5}{17}}\approx 0{,}542 (ou 54{,}2\%)

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