S-3.55 Vimos no Problema S-3.16 que um quadrado nunca é da forma
. Usando este fato, mostre que a equação
não admite nenhuma solução em
e
, com
e
ímpares.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros
tais que
quando
e
são ímpares. Vamos usar congruências módulo 4 e o fato já visto de que nenhum quadrado é da forma
.
Passo 2
Se
é ímpar, podemos escrever
para algum inteiro
. Então
De modo análogo, se
é ímpar, então
Logo
Como
, deduzimos
Passo 3
Mas do Problema S-3.16 sabemos que nenhum quadrado inteiro pode ser congruente a
módulo 4. Há uma contradição: não existe inteiro
com
. Portanto, não há solução inteira para
com
e
ímpares.
Resposta
Não existem soluções inteiras da forma indicada quando
e
são ímpares.