S-3.55 Vimos no Problema S-3.16 que um quadrado nunca é da forma 4 n+2. Usando este fato, mostre que a equação x^2+y^2=z^2 não admite nenhuma solução em x, y e z, com x e y ímpares.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existem inteiros x,y,z tais que
x^2 + y^2 = z^2
quando x e y são ímpares. Vamos usar congruências módulo 4 e o fato já visto de que nenhum quadrado é da forma 4n+2.

Passo 2

Se x é ímpar, podemos escrever x=2a+1 para algum inteiro a. Então
x^2 = (2a+1)^2 = 4a(a+1) + 1 equiv 1 pmod4
De modo análogo, se y é ímpar, então
y^2 equiv 1 pmod4
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x^2 + y^2 equiv 1 + 1 = 2 pmod4
Como x^2 + y^2 = z^2, deduzimos
z^2 equiv 2 pmod4

Passo 3

Mas do Problema S-3.16 sabemos que nenhum quadrado inteiro pode ser congruente a 2 módulo 4. Há uma contradição: não existe inteiro z com z^2equiv2pmod4. Portanto, não há solução inteira para
x^2 + y^2 = z^2
com x e y ímpares.

Resposta

Não existem soluções inteiras da forma indicada quando x e y são ímpares.

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