Calcule os seguintes limites:
lim x infty x[ln (1+2x)]

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxtoinftyxl[lnl(1+tfrac2xr)r]
Perceba que, quando xtoinfty, temos xtoinfty e ln(1+2/x)toln1=0, ou seja, uma indeterminação do tipo “ inftycdot0”.

Passo 2

Para usar o Teorema de L’H^opital, conv’em transformar em quociente, escrevendo
xlnl(1+tfrac2xr) =lnl(1+tfrac2xr)1/x
Agora, `a medida que xtoinfty, tanto o numerador ln(1+2/x) quanto o denominador 1/x tendem a zero, gerando uma indetermina\c{c}~ao do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicando a regra de L’H^opital, derivamos numerador e denominador em rela\c{c}~ao a x:
Derivada do numerador
ddxl[ln(1+2/x)r] =11+2/xcdotddxl(1+tfrac2xr) =11+2/xcdotl(-tfrac2x^2r) =-2x^2(1+2/x)
Derivada do denominador
ddxl[tfrac1xr] =-1x^2
Logo, pelo Teorema de L’H^opital,
limxtoinftyln(1+2/x)1/x =limxtoinfty-tfrac2x^2(1+2/x)-tfrac1x^2 =limxtoinfty21+2/x

Passo 4

Agora basta avaliar
limxtoinfty21+2/x =21+0 =2

Resposta

2

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