Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=-4 t^2+16 t+9

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = -4 t^2 + 16 t + 9 . Então, vamos usar a matéria de Transformada de Laplace, que é uma ferramenta muito útil para resolver equações diferenciais, por exemplo. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a propriedade de linearidade da transformada de Laplace e conhecer as transformadas básicas de funções polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é uma operação linear. Isso significa que podemos separar a função em partes e transformar cada uma individualmente. Ou seja:
La f(t) + b g(t) = a Lf(t) + b Lg(t)
No nosso caso, temos três termos: -4 t^2, 16 t e 9. Vamos transformar cada um deles separadamente.

Passo 3

Vamos transformar cada termo:
  1. Transformada de -4 t^2:
    Sabemos que Lt^n = n!s^n+1. Então, para n = 2:
Lt^2 = 2!s^3 = 2s^3
Multiplicando pelo coeficiente -4:
-4 cdot 2s^3 = -8s^3
  1. Transformada de 16 t:
    Para n = 1:
Lt = 1!s^2 = 1s^2
Multiplicando pelo coeficiente 16:
16 cdot 1s^2 = 16s^2
  1. Transformada de 9:
    A transformada de Laplace de uma constante c é cs. Então:
L9 = 9s

Resposta

Juntando tudo, a transformada de Laplace da função f(t) = -4 t^2 + 16 t + 9 é:
Lf(t) = -8s^3 + 16s^2 + 9s

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