Calcule os seguintes limites:
lim x 1[(1-x) tan (pi x2)]

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1l[(1-x)tan!l(tfracpi x2r)r]
Estamos diante de uma forma indeterminada do tipo 0cdotinfty. Para resolver, vamos usar uma mudança de variável que centralize em x=1 e empregar a identidade trigonométrica
tanl(tfracpi2+thetar)=-cot(theta),
além de limites notáveis para funções trigonométricas.

Passo 2

Façamos a substituição
t = x-1,
de modo que xto1 corresponde a tto0. Assim,
(1-x)tan!l(tfracpi x2r) = -,t ,tan!l(tfracpi2 + tfracpi t2r)

Passo 3

Aplicando a identidade tanl(tfracpi2+thetar)=-cot(theta) com theta=tfracpi t2, obtemos
-,t,tanl(tfracpi2+tfracpi t2r) = -,tl[-cot(tfracpi t2)r] = t,cot!l(tfracpi t2r)

Passo 4

Para tto0, usamos o limite notável sin ysim y e cos yto1. Escrevendo
t,cot!l(tfracpi t2r) = t,cos(tfracpi t2)sin(tfracpi t2) sim t,1tfracpi t2 = 2pi
Logo, o limite vale tfrac2pi.

Resposta

2pi

Exercícios relacionados