Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t(e^t+e^2 t)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(t) = t(e^t + e^2 t)^2 . Isso envolve conhecimentos de transformadas de Laplace, propriedades de funções exponenciais e manipulação algébrica. Vamos precisar expandir a expressão e aplicar as regras da transformada de Laplace passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (e^t + e^2 t)^2. Usando a fórmula (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, temos:
(e^t + e^2 t)^2 = e^2t + 2e^3t + e^4t

Passo 3

Agora, multiplicamos essa expansão pelo t, conforme a função original:
f(t) = t (e^2t + 2e^3t + e^4t) = t e^2t + 2t e^3t + t e^4t

Passo 4

Vamos usar a propriedade da linearidade da transformada de Laplace, que nos permite transformar cada termo separadamente e depois somar os resultados:
Lf(t) = Lt e^2t + 2Lt e^3t + Lt e^4t

Passo 5

Precisamos lembrar da fórmula da transformada de Laplace para t e^a t , que é:
Lt e^a t = 1(s - a)^2
Onde a é a constante no expoente da função exponencial.

Passo 6

Aplicando essa fórmula a cada termo:
  1. Para t e^2t :
Lt e^2t = 1(s - 2)^2
  1. Para t e^3t :
Lt e^3t = 1(s - 3)^2
  1. Para t e^4t :
Lt e^4t = 1(s - 4)^2

Passo 7

Agora, substituímos esses resultados na expressão da transformada de f(t) :
Lf(t) = 1(s - 2)^2 + 2 cdot 1(s - 3)^2 + 1(s - 4)^2

Resposta

A transformada de Laplace da função f(t) = t(e^t + e^2 t)^2 é:
Lf(t) = 1(s - 2)^2 + 2(s - 3)^2 + 1(s - 4)^2

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