3.56 Uma amostra de 100 vendas da loja “Te Quero Muito”, localizada em um Shopping Center voltado para o público classe A de São Paulo, realizadas no dia dos namorados de 2016, foram tabuladas tendo sido construída a seguinte distribuição de frequência:
Vendas (R$ mil) Abaixo de 1,343 |l|c|c|c|c|c|c|c|c|c| hline Vendas (R$ mil) & Abaixo de 1,343 & $1,343+1,423$ & $1,423+1,503$ & $1,503+1,583$ & $1,583+1,663$ & $1,663+1,743$ & $1,743+1,823$ & 1,823 e acima & Total hline$N^2$ clientes & 2 & 3 & 17 & 23 & 22 & 18 & 2 & 8 & 7 hline 15 % 1,823 e acima Total
clientes 2 3 17 23 22 18 2 8 7
Pede-se:
a) Qual o valor das vendas mais frequente entre os clientes dessa loja nesse dia?
b) Qual o valor acima do qual se têm os 50 clientes que mais gastaram nesse dia?
c) Abaixo de qual valor se têm os dos clientes que menos gastaram nesse dia?
d) Quantos clientes gastaram acima R$ 1.800 para adquirir o presente do seu namorado(a)?
e) Qual o valor aproximado da venda média e como esta distribuição pode ser classificada em termos de assimetria?

Passo 1

Beleza, olha o que a questão pede e o que a gente vai usar:
• Enunciado resumido: temos uma amostra de 100 vendas (em R$ mil) dividida em 8 intervalos de classe com suas frequências.
• Conteúdo: estatística descritiva de dados agrupados – moda, mediana, percentil, contagem em cauda e média aproximada, além de classificação da assimetria.
• O que vamos precisar:
  1. Fórmula da moda para dados agrupados
  2. Fórmula da mediana (2º quartil) em dados agrupados
  3. Fórmula para percentil em dados agrupados
  4. Contagem parcial para “acima de um valor”
  5. Cálculo de média aproximada usando pontos médios
  6. Relação média vs. mediana para identificar assimetria
A gente vai destrinchar cada item passo a passo, explicando a fórmula e desenrolando bem as contas.

Passo 2

(a) Moda aproximada de dados agrupados
  1. Identifica a classe modal (maior frequência): nela fₘ=23, limites 1{,}503–1{,}583 (h=0{,}08). As frequências das classes vizinhas são fₐₙₜ=17 (à esquerda) e fₚₒₛ=22 (à direita).
  2. Fórmula da moda:
Mode = L + fm - fant(fm - fant) + (fm - fpos);h
3. Substituindo:
$$Mode = 1{,}503 + \frac{23-17}{(23-17)+(23-22)};0{,}08
=1{,}503 + \frac{6}{6+1};0{,}08
\approx1{,}503 +0{,}0686
\approx1{,}5716mil$$

Passo 3

(b) Valor acima do qual estão os 50 que mais gastaram = mediana (50º valor)
  1. Cumulativa até cada classe: 2, 5, 22, 45, 67,… Logo a mediana cai na classe 1{,}583–1{,}663 (5ª classe), onde f=22, limite inferior L=1{,}583 e frequência acumulada anterior Fₐₙₜ=45.
  2. Fórmula da mediana:
M = L + N2 - Fantf;h
3. Substituindo (N=100, N/2=50):
$$M = 1{,}583 + \frac{50 - 45}{22};0{,}08
=1{,}583 + \frac{5}{22};0{,}08
\approx1{,}6012mil$$

Passo 4

© 15% dos que menos gastaram = percentil P₁₅
  1. 15% de 100 é o 15º valor. A cumulativa chega a 5 na 2ª classe e a 22 na 3ª classe (1{,}423–1{,}503), então P₁₅ está aí. L=1{,}423, Fₐₙₜ=5, f=17, h=0{,}08.
  2. Fórmula do percentil k:
Pk = L + k%,N - Fantf;h
3. Substituindo (k% N =15):
$$P_{15} = 1{,}423 + \frac{15 - 5}{17};0{,}08
=1{,}423 + \frac{10}{17};0{,}08
\approx1{,}4701mil$$

Passo 5

(d) Quantos gastaram acima de R$ 1{,}800
  1. A classe 1{,}743–1{,}823 tem f=7. Dela, só contam os que estão acima de 1{,}800 até 1{,}823.
  2. Proporção dentro da classe:
1,800 1 A classe 1,7431,823 tem f=7 Dela, só contam os que estão acima de 1,800 até 1,823 2 Proporção dentro da classe:
3. Clientes nessa faixa = 7×0,2875 ≈ 2,0
4. Soma com a classe superior (1{,}823+), que tem f=8:
2 + 8 = 10 clientes aproximadamente.

Passo 6

(e) Venda média aproximada e assimetria
  1. Pontos médios das classes (supondo h=0{,}08 e classe aberta “abaixo de 1{,}343” como 1{,}263–1{,}343 e última estendida 1{,}823–1{,}903):
    • 1,303; 1,383; 1,463; 1,543; 1,623; 1,703; 1,783; 1,863
  2. Frequências: 2, 3, 17, 23, 22, 18, 7, 8
  3. Produto fᵢ·xᵢ e soma:
    ∑fᵢxᵢ ≈160,860
  4. Média:
bar x = sum fi xiN = 160,860100 = 1,6086 mil
5. Para a assimetria: como bar x,(1,6086) > M,(1,6012), a cauda joga um pouco para a direita ⇒ assimetria positiva.

Resposta

a) R$ 1.5716 mil (moda).
b) R$ 1.6012 mil (mediana).
c) R$ 1.4701 mil (P₁₅).
d) Aproximadamente 10 clientes.
e) Média ≈ R$ 1.6086 mil; a distribuição apresenta assimetria positiva (cauda à direita).

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