56 A extremidade de um pêndulo oscila do longo de um arco de 24 cm em sua primeira oscilação. Se cada oscilaçāo é aproximadamente 5/6 da oscilaçāo precedente, use uma série geométrica para obter uma aproximação da distância total percorrida pelo pêndulo até entrar em repouso completo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a extremidade de um pêndulo que oscila, ou seja, vai e vem. Na primeira oscilação, ele percorre um arco de 24 cm. Cada oscilação seguinte é aproximadamente 5/6 da anterior. Nosso objetivo é calcular a distância total que o pêndulo percorre até parar completamente usando uma série geométrica.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos saber o que é uma série geométrica. Uma série geométrica é uma soma de termos onde cada termo depois do primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. No nosso caso, a razão é 5/6.

Passo 3

Na primeira oscilação, o pêndulo percorre 24 cm. Depois, ele volta, percorrendo mais 24 cm, totalizando 48 cm. Na segunda oscilação, ele percorre 5/6 de 24 cm para frente e 5/6 de 24 cm para trás, somando . Esse padrão continua, onde cada oscilação adiciona à distância total, onde n é o número da oscilação.

Passo 4

Vamos somar todas essas distâncias usando a fórmula da série geométrica infinita. A soma S de uma série geométrica infinita com primeiro termo a e razão r (onde ) é dada por:
Aqui, o primeiro termo após a primeira oscilação é cm e a razão r é 5/6.

Passo 5

Aplicando a fórmula:
Agora, somamos a distância da primeira oscilação:

Resposta

A distância total percorrida pelo pêndulo até parar é aproximadamente 264 cm.

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