Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime
e
com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que trabalhar com uma série infinita que converge:
. O que precisamos fazer é:
a) Calcular as somas parciais
,
e
com cinco casas decimais.
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
Para isso, vamos usar conceitos de séries convergentes e calcular termo a termo.
Passo 2
Vamos calcular
, que é a soma apenas do primeiro termo da série.
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular
, que é a soma dos dois primeiros termos.
Calculando cada parte:
Então:
Passo 4
Vamos calcular
, que inclui os três primeiros termos.
Calculando cada parte:
Então:
Passo 5
Agora, para a parte (b), queremos uma aproximação da soma total da série com três casas decimais. Observando como os termos da série diminuem rapidamente (note que
cresce muito rápido), podemos supor que os termos seguintes após
são tão pequenos que não afetarão as três primeiras casas decimais.
Portanto, a soma total da série pode ser aproximada por
.
Resposta
A soma da série
é aproximadamente
.