Exercs. 49-50: Para a série convergente dada, (a) aproxime S1, S2 e S3 com cinco casas decimais e (b) obtenha uma aproximação da soma da série com três casas decimais.
50 sumn=1^infty raizne^(n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que trabalhar com uma série infinita que converge: . O que precisamos fazer é:
a) Calcular as somas parciais , e com cinco casas decimais.
b) Encontrar uma aproximação da soma total da série com três casas decimais.
Para isso, vamos usar conceitos de séries convergentes e calcular termo a termo.

Passo 2

Vamos calcular S1 = raiz1e^1^2 = 1e , que é a soma apenas do primeiro termo da série.
S1 approx 12.71828 approx 0.36788
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular S2 = raiz1e^1^2 + raiz2e^2^2 = 1e + raiz2e^4 , que é a soma dos dois primeiros termos.
raiz2e^4 approx 1.4142154.59815 approx 0.02593
Calculando cada parte:
S2 approx 0.36788 + 0.02593 = 0.39381
Então:

Passo 4

Vamos calcular S3 = raiz1e^1^2 + raiz2e^2^2 + raiz3e^3^2 = 1e + raiz2e^4 + raiz3e^9 , que inclui os três primeiros termos.
raiz3e^9 approx 1.732058103.08393 approx 0.0002136
Calculando cada parte:
S3 approx 0.36788 + 0.02593 + 0.00021 = 0.39402
Então:

Passo 5

Agora, para a parte (b), queremos uma aproximação da soma total da série com três casas decimais. Observando como os termos da série diminuem rapidamente (note que cresce muito rápido), podemos supor que os termos seguintes após são tão pequenos que não afetarão as três primeiras casas decimais.
Portanto, a soma total da série pode ser aproximada por .

Resposta

A soma da série é aproximadamente .

Exercícios relacionados