60 Certo remédio tem meia-vida de cerca de 2 horas na corrente sangüínea. A cada 4 horas adminis-tram-se doses de K miligramas, com K a ser ainda determinado.
(a) Mostre que o número de miligramas do remédio na corrente sangüínea após a n^ma dose é K + (1/4) K + ... + (1/4)^(n-1) K, e que esta soma é aproximadamente 3/4 K para grandes valores de n.
(b) Se mais de 500 miligramas do remédio na corrente sangüínea é considerado um nível perigoso, determine a maior dose possível que possa ser administrada repetidamente por um longo período de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um remédio com meia-vida de 2 horas na corrente sanguínea. Isso significa que a cada 2 horas, a quantidade do remédio no corpo reduz para metade. A cada 4 horas, administram-se doses de miligramas. Precisamos entender como a quantidade do remédio se acumula no corpo após cada dose e garantir que não ultrapasse um nível perigoso de 500 miligramas.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a). Queremos mostrar que, após a -ésima dose, a quantidade de remédio no sangue é .
A meia-vida é de 2 horas, mas estamos administrando as doses a cada 4 horas. Então, em 4 horas, o remédio sofre duas meias-vidas (2 horas cada). Cada meia-vida reduz a quantidade pela metade:
Isso significa que, a cada dose, apenas da dose anterior permanece no organismo.
Então, após cada dose, a quantidade de remédio no sangue é a nova dose mais da quantidade da dose anterior. Isso resulta na série:

Passo 3

Agora, vamos somar essa série para ver o comportamento quando fica grande. Essa é uma série geométrica onde cada termo é do anterior. A soma dos primeiros termos de uma série geométrica é dada por:
Quando tende ao infinito ( grande), tende a zero, então a soma aproxima-se de:
No entanto, o enunciado afirma que a soma é aproximadamente . Parece que há uma confusão aqui, mas seguindo o cálculo correto, a soma para grandes é .

Passo 4

Vamos considerar que, para evitar confusão, o importante é que a soma converge para um valor específico à medida que aumenta. Com base nos cálculos, a quantidade de remédio no sangue estabiliza em torno de .
Agora, vamos para a parte (b). Queremos garantir que a quantidade de remédio não ultrapasse 500 miligramas.

Passo 5

Sabemos que, para grandes , a quantidade de remédio no sangue é aproximadamente . Para que isso não seja perigoso:
Resolvendo para :

Resposta

a) Após a -ésima dose, a quantidade de remédio no sangue é , e para valores grandes de , essa soma se aproxima de .
b) A maior dose possível que pode ser administrada repetidamente sem ultrapassar o nível perigoso de 500 mg é miligramas.

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