) Determine as equações das retas tangentes à hipérbole
que são paralelas à reta
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos as retas tangentes à hipérbole
que sejam paralelas à reta
. O conteúdo aqui envolve conicidade (hipérbole) e derivada implícita para obtermos o coeficiente angular das tangentes.
Passo 2
Primeiro vamos extrair o coeficiente angular
da reta dada. Da equação
isolamos
:
portanto o coeficiente angular desejado é
.
Passo 3
Agora diferenciamos implicitamente a hipérbole
Derivando ambos os lados em relação a
(lembrando que
depende de
):
Passo 4
Para que a tangente seja paralela à reta dada, precisamos de
Isso gera a relação
Passo 5
Substituímos
na equação da hipérbole:
Calculando os coeficientes:
e assim
. Então
dá
quando
e
quando
.
Passo 6
Finalmente, escrevemos as tangentes de coeficiente angular
que passam pelos pontos
e
.
Para
:
Logo a reta é
Para
:
Logo a reta é
Resposta
As equações das retas tangentes são:
10x - 3y - 32 = 0
10x - 3y + 32 = 0