57^ a ) Determine as equações das retas tangentes à hipérbole x^216-y64=1 que são paralelas à reta 10 x-3 y+9=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as retas tangentes à hipérbole x^216-y^264=1 que sejam paralelas à reta 10x-3y+9=0. O conteúdo aqui envolve conicidade (hipérbole) e derivada implícita para obtermos o coeficiente angular das tangentes.

Passo 2

Primeiro vamos extrair o coeficiente angular m da reta dada. Da equação 10x-3y+9=0 isolamos y:
3y=10x+9Longrightarrow y=103x+3,
portanto o coeficiente angular desejado é m=tfrac103.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente a hipérbole
x^216-y^264=1
Derivando ambos os lados em relação a x (lembrando que y depende de x):
2x16-2y64dydx=0 Longrightarrow x8-y32y'=0 Longrightarrow y'=4xy

Passo 4

Para que a tangente seja paralela à reta dada, precisamos de
y'=4xy=103
Isso gera a relação
4xcdot3=10y Longrightarrow y=65x

Passo 5

Substituímos y=tfrac65x na equação da hipérbole:
x^216-l(tfrac65xr)^264=1 Longrightarrow x^216-36x^2/2564=1
Calculando os coeficientes:
x^216-36x^21600=1 Longrightarrow l(1001600-361600r)x^2=1 Longrightarrow 641600x^2=1 Longrightarrow x^2=25
e assim x=pm5. Então y=tfrac65x y=6 quando x=5 e y=-6 quando x=-5.

Passo 6

Finalmente, escrevemos as tangentes de coeficiente angular m=tfrac103 que passam pelos pontos (5,6) e (-5,-6).
Para (5,6):
6=103cdot5+bLongrightarrow b=6-503=-323
Logo a reta é
y=103x-323Long<=ftrightarrow10x-3y-32=0
Para (-5,-6):
-6=103cdot(-5)+bLongrightarrow b=-6+503=323
Logo a reta é
y=103x+323Long<=ftrightarrow10x-3y+32=0

Resposta

As equações das retas tangentes são:
10x - 3y - 32 = 0
10x - 3y + 32 = 0

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