Sabendo que |u|=raiz2,|v|=3 e que u e v formam ângulo de 3 pi4 rad, determinar:
a) |(2 u-v) cdot(u-2 v)|
b) |u-2 v|

Passo 1

O enunciado dá dois vectores u e v tais que lvert urvert = raiz2, lvert vrvert = 3 e o ângulo entre eles é tfrac3pi4. Pede-se:
a) o valor de llvert (2u-v)cdot(u-2v)rrvert
b) a norma de u-2v.
Conteúdo principal: produto escalar e cálculo de magnitudes.

Passo 2

Calcular primeiro o produto escalar ucdotv. Pela definição,
ucdotv = lvert urvert,lvert vrvert costheta
com theta = tfrac3pi4. Logo,
ucdotv = raiz2times 3times cosl(tfrac3pi4r) = 3raiz2timesl(-tfracraiz22r) = -3

Passo 3

Expressar o produto escalar pedido em (a):
(2u-v)cdot(u-2v) = 2,ucdotu -4,ucdotv -vcdotu +2,vcdotv
Reescrevendo em termos de lvert urvert^2, lvert vrvert^2 e ucdotv:
= 2lvert urvert^2 -5,(ucdotv) +2lvert vrvert^2

Passo 4

Substituir lvert urvert^2 =2, lvert vrvert^2 =9 e ucdotv=-3:
2cdot 2 ;-;5cdot(-3);+;2cdot 9 =4 +15 +18 =37
Portanto
(2u-v)cdot(u-2v) =37,
e o valor absoluto é lvert 37rvert =37.

Passo 5

Para calcular lvert u-2vrvert usamos
lvert u-2vrvert^2 = (u-2v)cdot(u-2v) = lvert urvert^2 -4,ucdotv +4,lvert vrvert^2

Passo 6

Substituindo os valores: lvert urvert^2=2, ucdotv=-3, lvert vrvert^2=9,
lvert u-2vrvert^2 = 2 -4cdot(-3) +4cdot 9 =2 +12 +36 =50,
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lvert u-2vrvert = raiz50 = 5raiz2

Resposta

a) 37
b) 5raiz2

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