O plano pi: 3 x+2 y+4 z-12=0 intercepta os eixos cartesianos nos pontos A, B e C. Calcular:
a) a área do triângulo ABC ;
b) a altura desse triângulo relativa à base que está no plano xOz ;
c) o volume do tetraedro limitado pelo plano pi e pelos planos coordenados.

Passo 1

O enunciado nos dá o plano pi:3x+2y+4z-12=0 e pede:
  • a área do triângulo ABC formado pelos interceptos de pi com os eixos x, y e z;
  • a altura desse triângulo relativa à base que está no plano xOz (ou seja, o segmento AC);
  • o volume do tetraedro limitado por pi e pelos planos coordenados.
    Para isso, vamos achar os pontos de interceptação, usar produto vetorial para área, relação área-base-altura para a altura e produto misto (ou fórmula dos interceptos) para o volume.

Passo 2

Para encontrar os interceptos, basta anular duas variáveis de cada vez:
y=0, z=0implies 3x-12=0implies x=4Rightarrow A(4,0,0), x=0, z=0implies 2y-12=0implies y=6Rightarrow B(0,6,0), x=0, y=0implies 4z-12=0implies z=3Rightarrow C(0,0,3)

Passo 3

Para a área do triângulo ABC usamos o produto vetorial de AB e AC:
AB=(-4,6,0), AC=(-4,0,3),
ABtimesAC=(18,12,24), l|ABtimesACr| =raiz18^2+12^2+24^2 =6raiz29
Como a área do triângulo é metade da área do paralelogramo,
área(ABC) =tfrac12,l|ABtimesACr| =3raiz29 á

Passo 4

A base que está em xOz é AC. Primeiro calculamos lvert ACrvert:
lvert ACrvert =raiz(4-0)^2+(0-0)^2+(0-3)^2 =raiz16+9 =5
A altura h satisfaz tfrac12cdotlvert ACrvertcdot h=área(ABC)á, logo
h =2cdotl(3raiz29r)5 =6raiz295

Passo 5

O volume do tetraedro com vértices O,A,B,C é
V=16l|detl[OA,OB,OCr]r| =16l|det4&0&00&6&00&0&3r| =16,(4cdot6cdot3) =12

Resposta

a) 3raiz29
b) dfrac6raiz295
c) 12

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