59ㄹ) Encontre as equações das retas tangentes à elipse de equação x^230+y^224=1 e que são paralelas à reta de equação 4 x- 2 y+23=0.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à elipse
x^230 + y^224 = 1
que sejam paralelas à reta
4x - 2y + 23 = 0
Como conteúdo, vamos usar que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) e que uma reta é tangente à elipse quando, ao substituir sua equação na equação da elipse, o sistema resultante em x tem discriminante zero.

Passo 2

Da reta 4x - 2y + 23 = 0 isolamos y:
-2y = -4x - 23 Longrightarrow y = 2x + 232
Logo o coeficiente angular é m = 2. Toda reta paralela a essa tem a forma
y = 2x + b,
onde b é o coeficiente linear a determinar.

Passo 3

Substituímos y = 2x + b na equação da elipse:
x^230 ;+;(2x + b)^224 ;=;1
Para simplificar, multiplicamos tudo por 120:
4x^2 + 5,(2x + b)^2 = 120
Expandindo:
4x^2 + 5,(4x^2 + 4bx + b^2) = 120 ;Longrightarrow; 4x^2 + 20x^2 + 20bx + 5b^2 - 120 = 0 ;Longrightarrow; 24x^2 + 20bx + (5b^2 - 120) = 0

Passo 4

Para que a reta seja tangente à elipse, o polinômio em x
24x^2 + 20b,x + (5b^2 - 120) = 0
deve ter discriminante zero. Calculamos:
De<a = (20b)^2 - 4cdot 24 cdot (5b^2 - 120) = 400b^2 - 96,(5b^2 - 120)
Impondo De<a = 0:
400b^2 - 480b^2 + 96cdot 120 = 0 ;Longrightarrow; -80b^2 + 11520 = 0 ;Longrightarrow; b^2 = 1152080 = 144 ;Longrightarrow; b = pm 12

Passo 5

Os dois valores de b geram as duas retas tangentes procuradas:
y = 2x + 12 e y = 2x - 12
Em forma geral de equação de reta Ax + By + C = 0, podemos escrever:
2x - y + 12 = 0 e 2x - y - 12 = 0

Resposta

As retas são
boxed,y = 2x + 12e y = 2x - 12,

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