59ㄹ) Encontre as equações das retas tangentes à elipse de equação
e que são paralelas à reta de equação
.
Passo 1
O enunciado pede as retas tangentes à elipse
que sejam paralelas à reta
Como conteúdo, vamos usar que retas paralelas têm o mesmo coeficiente angular (mesma inclinação) e que uma reta é tangente à elipse quando, ao substituir sua equação na equação da elipse, o sistema resultante em
tem discriminante zero.
Passo 2
Da reta
isolamos
:
Logo o coeficiente angular é
. Toda reta paralela a essa tem a forma
onde
é o coeficiente linear a determinar.
Passo 3
Substituímos
na equação da elipse:
Para simplificar, multiplicamos tudo por
:
Expandindo:
Passo 4
Para que a reta seja tangente à elipse, o polinômio em
deve ter discriminante zero. Calculamos:
Impondo
:
Passo 5
Os dois valores de
geram as duas retas tangentes procuradas:
Em forma geral de equação de reta
, podemos escrever:
Resposta
As retas são