57 Determine os valores de \alpha para os quais o sistema
\left\{\begin{array}{l} \alpha x+y=1 \\\ x+\alpha y=1 \end{array}\right.
(a) não tenha solução;
(b)tenha uma solução;
(c)tenha uma infinidade de soluções.

Passo 1

O enunciado pede para analisar um sistema linear com parâmetro \alpha\): \[\begin{cases} \alpha x + y = 1,\\\ x + \alpha y = 1. \end{cases}
O conteúdo é sistema linear (2\times 2] dependente de parâmetro, e vamos usar o determinante da matriz dos coeficientes para estudar existência e unicidade de solução.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = \begin{pmatrix} \alpha & 1\\\\ 1 & \alpha \end{pmatrix}, \qquad \det(A) = \alpha\cdot\alpha - 1\cdot1 = \alpha^2 - 1.
Se \det(A)\neq0, o sistema tem solução única; se \det(A)=0, há duas retas paralelas ou coincidentes, e podemos ter zero ou infinitas soluções.

Passo 3

Analisamos o caso \det(A)=0\), ou seja \(\alpha^2-1=0\), de onde \[\alpha = 1 \quad\text{ou}\quad \alpha = -1.
Em cada caso, comparamos as duas equações:
  • Para \alpha = 1, o sistema fica
    \begin{cases} x + y = 1,\\\ x + y = 1, \end{cases}
    que são a mesma reta, logo infinitas soluções.
  • Para \alpha = -1\], o sistema fica \[\begin{cases} -x + y = 1,\\\ x - y = 1, \end{cases}\] mas a segunda é multiplicação da primeira por \(-1 só que com constante trocada de sinal, gerando
    x - y = -1 \quad\text{vs.}\quad x - y = 1,
    impossível, logo nenhuma solução.

Passo 4

Agora juntamos tudo:
  • Se \det(A)\neq0, ou seja \alpha^2\neq1, temos solução única.
  • Se \alpha=1, temos infinitas soluções.
  • Se \alpha=-1, não há solução.

Resposta

(a) não tenha solução: \alpha = -1
(b) tenha uma solução (única): \alpha \neq \pm1
(c) tenha uma infinidade de soluções: \alpha = 1

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