Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
\left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+5 y+6 z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com duas equações e três incógnitas
\begin{cases} x - 2y + 3z = 0,\\\\ 2x + 5y + 6z = 0, \end{cases}
e pede para resolver por escalonamento, além de determinar o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. O conteúdo aqui é sistemas lineares e eliminação de Gauss.

Passo 2

Escrevemos a matriz ampliada do sistema. Primeiro a matriz de coeficientes e depois a coluna de termos constantes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\\\ 2 & 5 & 6 & 0 \end{array}\right].

Passo 3

Aplicamos eliminação para zerar o coeficiente abaixo do pivô da primeira coluna. Subtraímos duas vezes a primeira linha da segunda:
L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1
\begin{aligned} L_2 &: \; (2-2\cdot1,\;5-2\cdot(-2),\;6-2\cdot3,\;0-2\cdot0)\\\ &: \; (0,\;5+4,\;6-6,\;0) = (0,9,0,0). \end{aligned}
A matriz ampliada fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 0\\\\ 0 & 9 & 0 & 0 \end{array}\right].

Passo 4

Na forma escalonada vemos dois pivôs (entradas não nulas nas linhas 1 e 2). Logo o posto da matriz de coeficientes é 2. Como não houve contradição nos constantes, o posto da matriz ampliada também é 2.

Passo 5

Agora resolvemos: da segunda linha vem
9y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Na primeira linha, com y=0, temos
x - 2\cdot0 + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -3z.
Escolhemos z como parâmetro livre, digamos z = t. Assim a solução geral é
(x,y,z) = (-3t,\,0,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

Soluções: (x,y,z)=(-3t,0,t), t\in\mathbb{R}.
Posto da matriz de coeficientes: 2.
Posto da matriz ampliada: 2.

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