Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. \left\{\begin{array}{l}x-2 y+3 z=0 \\\\ 2 x+5 y+6 z=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear com duas equações e três incógnitas
e pede para resolver por escalonamento, além de determinar o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. O conteúdo aqui é sistemas lineares e eliminação de Gauss.
Passo 2
Escrevemos a matriz ampliada do sistema. Primeiro a matriz de coeficientes e depois a coluna de termos constantes:
Na forma escalonada vemos dois pivôs (entradas não nulas nas linhas 1 e 2). Logo o posto da matriz de coeficientes é 2. Como não houve contradição nos constantes, o posto da matriz ampliada também é 2.
Passo 5
Agora resolvemos: da segunda linha vem
9y = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 0.
Na primeira linha, com y=0, temos
x - 2\cdot0 + 3z = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -3z.
Escolhemos z como parâmetro livre, digamos z = t. Assim a solução geral é
(x,y,z) = (-3t,\,0,\,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Resposta
Soluções: (x,y,z)=(-3t,0,t), t\in\mathbb{R}.
Posto da matriz de coeficientes: 2.
Posto da matriz ampliada: 2.