Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. \left\{\begin{aligned} 3 x-y & =1 \\\\ 2 y-5 z & =-11 \\\ x+y+z+t & =-1 \\\ x+z & =10\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado fornece o sistema linear em quatro incógnitas x,y,z,t:
\begin{cases} 3x - y = 1,\\\ \; 2y - 5z = -11,\\\ x + y + z + t= -1,\\\ x \;+\; z = 10. \end{cases}
O objetivo é resolver por escalonamento de Gauss e, em seguida, determinar o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. Vamos montar a matriz ampliada e aplicar operações elementares para transformá-la em forma triangular.
Passo 2
Construímos a matriz ampliada [A\mid b] associada:
Agora temos pivôs não nulos em todas as quatro colunas, então o posto da matriz de coeficientes é 4. Como a última linha do ampliado também é não nula, o posto da matriz ampliada também é 4.
Passo 6
Fazendo substituição regressiva:
\begin{cases} -\tfrac{11}{26}\,t = -\tfrac{11}{26}\;\Longrightarrow\; t = 1,\\\ \tfrac{13}{3}\,z + 1\cdot t = \tfrac{22}{3}\;\Longrightarrow\;\tfrac{13}{3}z + 1 = \tfrac{22}{3}\;\Longrightarrow\; z = \tfrac{21}{13},\\\\ 2\,y -5z = -11\;\Longrightarrow\;2y -5\bigl(\tfrac{21}{13}\bigr) = -11\;\Longrightarrow\;y = \tfrac{1}{2}\Bigl(-11 + \tfrac{105}{13}\Bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{-143+105}{13}\bigr)=\tfrac{-38}{26}=-\tfrac{19}{13},\\\\ 3x - y = 1\;\Longrightarrow\;3x + \tfrac{19}{13} = 1\;\Longrightarrow\;3x = \tfrac{13}{13} - \tfrac{19}{13} = -\tfrac{6}{13}\;\Longrightarrow\; x = -\tfrac{2}{13}. \end{cases}