Resolva os seguintes sistemas por escalonamento. Determine o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada.
\left\{\begin{aligned} 3 x-y & =1 \\\\ 2 y-5 z & =-11 \\\ x+y+z+t & =-1 \\\ x+z & =10\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear em quatro incógnitas x,y,z,t:
\begin{cases} 3x - y = 1,\\\ \; 2y - 5z = -11,\\\ x + y + z + t= -1,\\\ x \;+\; z = 10. \end{cases}
O objetivo é resolver por escalonamento de Gauss e, em seguida, determinar o posto da matriz de coeficientes e o posto da matriz ampliada. Vamos montar a matriz ampliada e aplicar operações elementares para transformá-la em forma triangular.

Passo 2

Construímos a matriz ampliada [A\mid b] associada:
[A\mid b] = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & \vline & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & \vline & -11\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & \vline & -1\\\\ 1 & 0 & 1 & 0 & \vline & 10 \end{pmatrix}.
Em seguida, usaremos a primeira linha como pivô para eliminar as entradas abaixo da coluna 1.

Passo 3

Eliminação na coluna 1:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_1,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{1}{3}R_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & \vline & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & \vline & -11\\\\ 0 & \tfrac{4}{3} & 1 & 1 & \vline & -\tfrac{4}{3}\\\\ 0 & \tfrac{1}{3} & 1 & 0 & \vline & \tfrac{29}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminação na coluna 2 usando agora R_2 como pivô:
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{\tfrac{4}{3}}{2}\,R_2 ,\quad R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{\tfrac{1}{3}}{2}\,R_2.
Obtemos
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & \vline & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & \vline & -11\\\\ 0 & 0 & \tfrac{13}{3} & 1 & \vline & \tfrac{22}{3}\\\\ 0 & 0 & \tfrac{11}{6} & 0 & \vline & \tfrac{68}{6} \end{pmatrix}.

Passo 5

Eliminação na coluna 3 usando R_3 como pivô:
R_4 \leftarrow R_4 - \frac{\tfrac{11}{6}}{\tfrac{13}{3}}\,R_3 =\;R_4 - \tfrac{11}{26}\,R_3,
resultando em
\begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 & 0 & \vline & 1\\\\ 0 & 2 & -5 & 0 & \vline & -11\\\\ 0 & 0 & \tfrac{13}{3} & 1 & \vline & \tfrac{22}{3}\\\\ 0 & 0 & 0 & -\tfrac{11}{26} & \vline & -\tfrac{11}{26} \end{pmatrix}.
Agora temos pivôs não nulos em todas as quatro colunas, então o posto da matriz de coeficientes é 4. Como a última linha do ampliado também é não nula, o posto da matriz ampliada também é 4.

Passo 6

Fazendo substituição regressiva:
\begin{cases} -\tfrac{11}{26}\,t = -\tfrac{11}{26}\;\Longrightarrow\; t = 1,\\\ \tfrac{13}{3}\,z + 1\cdot t = \tfrac{22}{3}\;\Longrightarrow\;\tfrac{13}{3}z + 1 = \tfrac{22}{3}\;\Longrightarrow\; z = \tfrac{21}{13},\\\\ 2\,y -5z = -11\;\Longrightarrow\;2y -5\bigl(\tfrac{21}{13}\bigr) = -11\;\Longrightarrow\;y = \tfrac{1}{2}\Bigl(-11 + \tfrac{105}{13}\Bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{-143+105}{13}\bigr)=\tfrac{-38}{26}=-\tfrac{19}{13},\\\\ 3x - y = 1\;\Longrightarrow\;3x + \tfrac{19}{13} = 1\;\Longrightarrow\;3x = \tfrac{13}{13} - \tfrac{19}{13} = -\tfrac{6}{13}\;\Longrightarrow\; x = -\tfrac{2}{13}. \end{cases}

Resposta

A solução única é
x=-\tfrac{2}{13},\quad y=-\tfrac{19}{13},\quad z=\tfrac{21}{13},\quad t=1.
O posto da matriz de coeficientes é 4 e o posto da matriz ampliada também é 4.

Exercícios relacionados